ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства: 1) \( x — 2y < 3 \); 2) \( x + 4y \geq 5 \); 3) \( y > -2 \); 4) \( x \geq -2 \).

1) \( x — 2y < 3 \);

2) \( x + 4y \geq 5 \);

3) \( y > -2 \);

4) \( x \geq -2 \).

Система неравенств задает выпуклую область на плоскости, ограниченную четырьмя линиями: двумя косыми прямыми и двумя координатно-параллельными границами. Неравенство \(x-2y<3\) задает область строго ниже прямой \(x-2y=3\), или \(y<\frac{x-3}{2}\). Неравенство \(x+4y\geq 5\) задает область на и выше прямой \(x+4y=5\), или \(y\geq \frac{5-x}{4}\). Условие \(y>-2\) определяет полуплоскость строго выше горизонтали \(y=-2\). Наконец, \(x\geq -2\) задает полуплоскость на и правее вертикали \(x=-2\). Совместная область решений — пересечение всех этих четырех полуплоскостей: точки правее или на \(x=-2\), выше или на \(y=\frac{5-x}{4}\), строго выше \(y=-2\), и строго ниже \(y=\frac{x-3}{2}\). Границы, соответствующие строгим неравенствам \(x-2y<3\) и \(y>-2\), не включаются в множество решений (пунктир), тогда как границы \(x+4y=5\) и \(x=-2\) включаются (сплошные).

Найдем характерные точки пересечения границ, чтобы описать форму области. Пересечение двух наклонных прямых \(x-2y=3\) и \(x+4y=5\): решаем систему линейных уравнений. Выразим, например, из первого \(x=3+2y\) и подставим во второе: \((3+2y)+4y=5\Rightarrow 6y=2\Rightarrow y=\frac{1}{3}\), тогда \(x=3+2\cdot\frac{1}{3}=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}\). Следовательно, точка пересечения наклонных прямых равна \(\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3}\right)\). Пересечение \(x+4y=5\) с \(x=-2\): подставляя \(x=-2\), получаем \(-2+4y=5\Rightarrow 4y=7\Rightarrow y=\frac{7}{4}\), то есть точка \((-2,\frac{7}{4})\) принадлежит области и лежит на обеих включенных границах. Пересечение \(x-2y=3\) с \(x=-2\): подставляя \(x=-2\), имеем \(-2-2y=3\Rightarrow -2y=5\Rightarrow y=-\frac{5}{2}\). Эта точка \((-2,-\frac{5}{2})\) ниже прямой \(y=-2\) и потому вне области решений из-за условия \(y>-2\). Пересечение горизонтали \(y=-2\) с \(x+4y=5\): получаем \(x+4(-2)=5\Rightarrow x-8=5\Rightarrow x=13\), точка \((13,-2)\), но она также исключена из области решений из-за строгости \(y>-2\) (лежит на невключаемой границе). Пересечение \(y=-2\) с \(x=-2\) дает точку \((-2,-2)\), но она тоже не принадлежит решениям по причине \(y>-2\). Наконец, пересечение прямой \(y=\frac{5-x}{4}\) с \(y=\frac{x-3}{2}\) мы уже учли через их систему и получили \(\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3}\right)\), которая находится выше \(y=-2\) и правее \(x=-2\), значит релевантна.

С учетом включенности/исключенности границ геометрия такова: слева область ограничена включенной вертикалью \(x=-2\); снизу ограничение \(y>-2\) действует как невключаемая горизонталь, но фактический нижний «реальный» предел на участке слева задается более сильным неравенством \(y\geq \frac{5-x}{4}\), потому что для \(x\) около \(-2\) имеем \(\frac{5-(-2)}{4}=\frac{7}{4}>-2\), и этим обрезается низ. Снизу-слева крайняя «нижняя» вершина получается на пересечении включаемых границ \(x=-2\) и \(x+4y=5\), это точка \((-2,\frac{7}{4})\), она принадлежит области. От нее вправо по прямой \(x+4y=5\) область тянется до точки пересечения с верхней границей \(y=\frac{x-3}{2}\), то есть до \(\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3}\right)\). Выше этой точки область не может продолжаться, так как требуется быть ниже \(y=\frac{x-3}{2}\). При больших \(x\) нижняя граница \(y=-2\) становится менее строгой, чем \(y=\frac{5-x}{4}\) (которая падает), но из-за \(x+4y\geq 5\) точки с \(y\) близким к \(-2\) допустимы лишь при очень больших \(x\) и при этом они должны оставаться ниже \(y=\frac{x-3}{2}\); однако сравнение показывает, что для любого \(x\) условие \(y\geq \frac{5-x}{4}\) всегда сильнее, чем \(y>-2\), пока \(\frac{5-x}{4}>-2\), то есть пока \(x<13\). При \(x\geq 13\) нижняя грань становится \(y>-2\), но при этом верхняя грань \(y<\frac{x-3}{2}\) допускает бесконечный рост вверх. Следовательно, множество решений не является ограниченным сверху и вправо: оно содержит неограниченный «клин» между двумя прямыми, обрезанный слева вертикалью \(x=-2\) и снизу невключаемой горизонталью \(y=-2\) для \(x\geq 13\).

Итоговое описание множества решений: все точки \((x,y)\), для которых одновременно выполнены \(x\geq -2\), \(y>-2\), \(y\geq \frac{5-x}{4}\), \(y<\frac{x-3}{2}\). Набор вершин области, задаваемой включаемыми границами, содержит точку \((-2,\frac{7}{4})\) и точку \(\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3}\right)\). Дальше область продолжается неограниченно: в направлении увеличения \(x\) и \(y\) она остается между прямыми \(y=\frac{5-x}{4}\) (включена) и \(y=\frac{x-3}{2}\) (исключена), а также выше \(y=-2\) (исключена). Таким образом, многоугольник как замкнутая фигура здесь не образуется; вместо этого решение представляет собой неограниченную выпуклую область, чья «нижняя левая» видимая кромка состоит из отрезка на прямой \(x+4y=5\) от точки \((-2,\frac{7}{4})\) до \(\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3}\right)\), вертикального луча \(x=-2\) вверх от \((-2,\frac{7}{4})\), и далее двух лучей между прямыми, уходящих на бесконечность при росте \(x\). Если нужны крайние точки с учетом допусков на включение, то они задаются перечисленными пересечениями, а вся остальная область описывается строгими и нестрогими отношениями, указанными выше.