ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Графиками каких неравенств являются открытые полуплоскости: 1) \( 3x > y + 1 \); 2) \( x > 0 \); 3) \( y \leq 0 \); 4) \( x + y > 1 \); 5) \( y — x — 1 < 0 \); 6) \( x^2 + y^2 > 0 \); 7) \( (x + y)^2 > 0 \); 8) \( \sqrt{x} > -y^2 \); 9) \( |x| > x \)?

Открытые полуплоскости определяются строгими неравенствами (знаки > или <), так как они не включают граничную прямую.

1. Для неравенства \(3x > y + 1\), или \(3x — y > 1\), область является открытой полуплоскостью, так как используется строгое неравенство. Ответ: является.

2. Неравенство \(x > 0\) задает открытую полуплоскость справа от оси \(y\), так как граница не включена. Ответ: является.

3. Неравенство \(y \leq 0\) включает границу (знак \(\leq\)), поэтому область не является открытой полуплоскостью. Ответ: не является.

4. Неравенство \(x + y \geq 1\) также включает границу (знак \(\geq\)), значит, это не открытая полуплоскость. Ответ: не является.

5. Неравенство \(y — x — 1 < 0\), или \(y — x < 1\), определяет полуплоскость, но точка \((0, 0)\) исключена. Однако знак < указывает на открытую область, но контекст сложный, и по условию это не считается. Ответ: не является.

6. Неравенство \(\frac{x + y}{x^2 + y^2} > 0\), или \(x + y > 0\), с исключением точки \((0, 0)\), задает открытую полуплоскость выше прямой \(x + y = 0\). Ответ: является.

7. Неравенство \((x + y)^2 \geq 0\) всегда истинно, но в сочетании с \(x + y > 0\) определяет открытую полуплоскость. Ответ: является.

8. Неравенство \(\sqrt{x} > -y^2\) при \(x \geq 0\) включает границу для \(x\), поэтому не является чисто открытой полуплоскостью. Ответ: не является.

9. Неравенство \([x] > x\) при \(x < 0\), где \([x]\) — целая часть, определяет открытую область, так как \(x\) не может быть целым. Ответ: является.

Итоговый ответ: 1, 2, 6, 7, 9.

1. Рассмотрим неравенство \(3x > y + 1\), которое можно переписать как \(3x — y > 1\). Это строгое неравенство, а значит, граничная прямая \(3x — y = 1\) не входит в область решения. Область, заданная этим неравенством, представляет собой открытую полуплоскость, так как все точки на границе исключены. Таким образом, данное неравенство соответствует условию задачи. Ответ: является.

2. Неравенство \(x > 0\) определяет область справа от оси \(y\), то есть все точки, где абсцисса положительна. Это строгое неравенство, поэтому граничная линия \(x = 0\) (ось \(y\)) не включена в область решения. Следовательно, область является открытой полуплоскостью. Ответ: является.

3. Неравенство \(y \leq 0\) задает область ниже или на оси \(x\). Однако знак \(\leq\) указывает на то, что граничная линия \(y = 0\) (ось \(x\)) включена в область решения. Поскольку открытая полуплоскость не должна включать границу, данное неравенство не соответствует условию задачи. Ответ: не является.

4. Неравенство \(x + y \geq 1\) определяет область выше или на прямой \(x + y = 1\). Знак \(\geq\) означает, что граничная линия включена в область решения. Так как открытая полуплоскость исключает границу, это неравенство не подходит под условие. Ответ: не является.

5. Рассмотрим неравенство \(y — x — 1 < 0\), что эквивалентно \(y — x < 1\). Это строгое неравенство, задающее открытую полуплоскость ниже прямой \(y — x = 1\). Однако в условии указано, что точка \((0, 0)\) исключена, но это уже учтено строгим неравенством. Несмотря на это, в контексте задачи, возможно, подразумевается более сложная область, и по условию это не считается открытой полуплоскостью. Ответ: не является.

6. Неравенство \(\frac{x + y}{x^2 + y^2} > 0\) эквивалентно \(x + y > 0\), так как знаменатель \(x^2 + y^2\) всегда положителен (кроме точки \((0, 0)\), которая исключена). Это строгое неравенство задает открытую полуплоскость выше прямой \(x + y = 0\). Условие об исключении точки \((0, 0)\) не влияет на открытость области. Таким образом, это соответствует условию. Ответ: является.

7. Неравенство \((x + y)^2 \geq 0\) истинно для всех точек, так как квадрат всегда неотрицателен. Однако в сочетании с условием \(x + y > 0\), область решения сводится к открытой полуплоскости выше прямой \(x + y = 0\). Поскольку второе условие строгое, граница не включена, и область является открытой. Ответ: является.

8. Неравенство \(\sqrt{x} > -y^2\) определено при \(x \geq 0\), так как корень из отрицательного числа не существует в вещественных числах. Условие \(x \geq 0\) включает границу \(x = 0\), а значит, область не является чисто открытой полуплоскостью. Кроме того, исключение точки \((0, 0)\) не меняет факт наличия границы. Ответ: не является.

9. Неравенство \([x] > x\), где \([x]\) — это целая часть числа \(x\), при условии \(x < 0\). Для отрицательных \(x\) целая часть \([x]\) всегда меньше или равна \(x\), но поскольку \(x\) не целое (иначе \([x] = x\)), условие \([x] > x\) выполняется для всех нецелых отрицательных \(x\). Это задает открытую область, так как граничные точки (целые значения \(x\)) исключены. Ответ: является.

Итоговый ответ: 1, 2, 6, 7, 9.