ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Графиками каких неравенств являются полуплоскости: 1) \( x \geq 2 \); 2) \( x^2 + y^2 \geq 0 \); 3) \( (x — y)^2 > 0 \); 4) \( y — x + 1 > 0 \); 5) \( \sqrt{x^2 — y^2} \); 6) \( |y| > x \)?

Для определения, графиками каких неравенств являются полуплоскости, рассмотрим каждое из них кратко.

1) Для неравенства \(x \geq 2\) график представляет собой полуплоскость справа от вертикальной линии \(x = 2\), включая саму линию. Это является полуплоскостью.

2) Для системы \(x + y \geq 0\) и \(x^2 + y^2 \geq 0\) с исключением точки \((0, 0)\) вторая часть всегда истинна, но из-за исключения точки область не является замкнутой полуплоскостью. Это не полуплоскость.

3) Для неравенства \(x — y > 0\) график — это открытая полуплоскость над линией \(x = y\), но из-за условия открытости (строгое неравенство) это не замкнутая полуплоскость. Это не полуплоскость.

4) Для системы \(y — x + 1 \geq 0\) и \(x^2 + y^2 \geq 0\) с исключением точки \((0, 0)\) область определяется как \(y \geq x — 1\), но исключение точки нарушает замкнутость. Это не полуплоскость.

5) Для неравенства \(\sqrt{x} \geq -y^2\), учитывая \(x \geq 0\), получаем \(y^2 \geq -\sqrt{x}\). Поскольку \(y^2 \geq 0\), а \(-\sqrt{x} \leq 0\), условие всегда выполняется при \(x \geq 0\). Это полуплоскость \(x \geq 0\).

6) Для неравенства \(|x| \geq x\), которое выполняется только при \(x \geq 0\), область является полуплоскостью, но из-за указания \(x \in \mathbb{R}\) и возможной интерпретации это не считается типичной полуплоскостью в контексте задачи. Это не полуплоскость.

Итог: полуплоскостями являются неравенства под номерами 1 и 5.

1) Рассмотрим неравенство \(x \geq 2\). Это неравенство описывает область на координатной плоскости, где все точки имеют абсциссу \(x\), большую или равную 2. Графически это вертикальная линия \(x = 2\) и вся область справа от нее, включая саму линию. Такая область является полуплоскостью, так как она ограничена прямой линией, а область по одну сторону от этой линии (в данном случае справа) полностью включена. Таким образом, это неравенство представляет полуплоскость.

2) Перейдем к системе неравенств \(x + y \geq 0\) и \(x^2 + y^2 \geq 0\) с исключением точки \((0, 0)\). Сначала разберем каждое неравенство. Неравенство \(x^2 + y^2 \geq 0\) выполняется для всех точек плоскости, так как сумма квадратов всегда неотрицательна, и равно нулю только в точке \((0, 0)\). Неравенство \(x + y \geq 0\) описывает полуплоскость выше или на линии \(x + y = 0\), то есть \(y \geq -x\). Однако из-за исключения точки \((0, 0)\) область не является замкнутой, так как точка, принадлежащая линии, исключена. Полуплоскость в строгом смысле должна быть замкнутой областью (включая границу), поэтому данная область не считается полуплоскостью.

3) Рассмотрим неравенство \(x — y > 0\), что эквивалентно \(x > y\). Это описывает область выше линии \(x = y\), но поскольку неравенство строгое (без равенства), граница \(x = y\) не включается в область. Полуплоскость обычно подразумевает включение границы (замкнутую область), а здесь область открытая. Следовательно, данная область не является полуплоскостью в классическом понимании.

4) Перейдем к системе \(y — x + 1 \geq 0\) и \(x^2 + y^2 \geq 0\) с исключением точки \((0, 0)\). Неравенство \(y — x + 1 \geq 0\) можно переписать как \(y \geq x — 1\), что описывает полуплоскость выше или на линии \(y = x — 1\). Второе неравенство \(x^2 + y^2 \geq 0\) выполняется для всех точек, кроме \((0, 0)\), но из-за исключения этой точки область не является замкнутой. Точка \((0, 0)\) не принадлежит линии \(y = x — 1\), так как при \(x = 0\), \(y = -1\), но исключение все равно нарушает целостность области. Таким образом, это не полуплоскость.

5) Рассмотрим неравенство \(\sqrt{x} \geq -y^2\) с условием \(x \geq 0\). Поскольку \(\sqrt{x}\) определена только при \(x \geq 0\), область ограничена этой частью плоскости. Неравенство \(\sqrt{x} \geq -y^2\) можно проанализировать так: \(y^2\) всегда неотрицательно, а \(-\ y^2 \leq 0\), и \(\sqrt{x} \geq 0\). Таким образом, \(\sqrt{x} \geq -y^2\) выполняется для всех \(y\), если \(x \geq 0\), так как левая часть неотрицательна, а правая неположительна. Это означает, что область определяется только условием \(x \geq 0\), что является полуплоскостью справа от оси \(y\), включая саму ось. Следовательно, это полуплоскость.

6) Наконец, рассмотрим неравенство \(|x| \geq x\), где \(x \in \mathbb{R}\). Разберем это неравенство: \(|x| = x\), если \(x \geq 0\), и \(|x| = -x\), если \(x < 0\). При \(x \geq 0\), \(|x| = x\), и \(x \geq x\) выполняется как равенство, то есть условие истинно. При \(x < 0\), \(|x| = -x\), и \(-x > x\), так как \(-x\) положительно, а \(x\) отрицательно, но неравенство \(|x| \geq x\) превращается в \(-x \geq x\), или \(0 \geq 2x\), то есть \(x \leq 0\), что совпадает с областью \(x < 0\). Таким образом, неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\), что означает всю координатную плоскость. Это не полуплоскость, так как полуплоскость — это область по одну сторону от прямой, а не вся плоскость.

Итог: полуплоскостями являются неравенства под номерами 1 и 5.