ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( y < 2x — x^2 \); 2) \( (x — 1)^2 + (y + 2)^2 < 1 \); 3) \( x^2 + 2x + y^2 > 3 \); 4) \( xy < 2 \); 5) \( xy \geq 12 \); 6) \( (x — y)(x + y — 1) < 0 \).

1) Вершина параболы \(y=-x^2+2x\) при \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1\), \(y(1)=1\). Граница: \(y=2x-x^2\). Ответ: все точки ниже границы \(y<2x-x^2\).

2) Перепишем как \((x-1)^2+(y+2)^2<1\). Центр \((1,-2)\), радиус \(1\). Ответ: внутренняя область круга без границы.

3) Дополнение квадрата: \(x^2+2x+y^2>3 \Rightarrow (x+1)^2+y^2>4\). Центр \((-1,0)\), радиус \(2\). Ответ: внешность окружности, граница не входит.

4) Граница: гипербола \(xy=2\). Ответ: все точки, для которых \(xy<2\); это области по обе стороны гиперболы, не включая её.

5) Граница: гипербола \(xy=12\). Ответ: все точки, где \(xy\geq 12\); включает ветви гиперболы и внешние к ней области в I и III квадрантах.

6) Границы: \(x-y=0\) и \(x+y-1=0\). Знак произведения отрицателен, когда выражения разных знаков: либо \(x-y>0\) и \(x+y-1<0\), либо \(x-y<0\) и \(x+y-1>0\). Ответ: две угловые области между прямыми, где выполняется \((x-y)(x+y-1)<0\).

Для построения графиков неравенств я кратко опишу решение для каждого из них с объяснением области, удовлетворяющей условию.

1. Для неравенства \( y < 2x — x^2 \) перепишем его как \( y < -x^2 + 2x \). Это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке \( (1, 1) \). Область решения — все точки под этой параболой.

2. Неравенство \( (x — 1)^2 + (y + 2)^2 < 1 \) описывает внутренность окружности с центром в \( (1, -2) \) и радиусом \( 1 \). Область решения — все точки внутри этой окружности.

3. Для \( x^2 + 2x + y^2 > 3 \) преобразуем выражение: \( x^2 + 2x + 1 + y^2 > 4 \), что равно \( (x + 1)^2 + y^2 > 4 \). Это внешняя часть окружности с центром в \( (-1, 0) \) и радиусом \( 2 \). Область решения — все точки вне этой окружности.

4. Неравенство \( xy < 2 \) означает, что произведение \( x \) и \( y \) меньше 2. График гиперболы \( xy = 2 \) делит плоскость на области, и решение — это точки во втором и четвертом квадрантах относительно этой гиперболы, где произведение меньше 2.

5. Для \( xy \geq 12 \) график гиперболы \( xy = 12 \) определяет область, где произведение \( x \) и \( y \) больше или равно 12. Решение — точки в первом и третьем квадрантах относительно этой гиперболы.

6. Неравенство \( (x — y)(x + y — 1) < 0 \) требует, чтобы произведение двух выражений было отрицательным, то есть одно положительное, а другое отрицательное. Границы задаются прямыми \( x — y = 0 \) (или \( y = x \)) и \( x + y — 1 = 0 \) (или \( y = 1 — x \)). Область решения определяется путем проверки знаков в разделенных этими прямыми областях, и это будут две области между прямыми, где произведение отрицательно.