ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( y > x^2 — 3x \); 2) \( (x + 2)^2 + y^2 \leq 4 \); 3) \( x^2 + y^2 — 4y > 0 \); 4) \( xy \leq 6 \); 5) \( xy > -12 \); 6) \( (x + y)(x — y — 1) > 0 \).

Для \(y > x^2 — 3x\): парабола \(y = x^2 — 3x\) с вершиной при \(x=\frac{3}{2}\). Область решений — выше параболы, граница не включена.

Для \((x+2)^2 + y^2 \le 4\): окружность с центром \((-2,0)\) и радиусом \(2\). Область решений — внутри и на окружности.

Для \(x^2 + y^2 — 4y > 0\): приведём к виду \(x^2 + (y-2)^2 > 4\). Окружность с центром \((0,2)\) и радиусом \(2\). Область решений — снаружи окружности, граница не включена.

Для \(xy \le 6\): гипербола \(xy=6\). Область решений — все точки плоскости, где \(xy \le 6\), включая ветви гиперболы (в первом и третьем квадрантах ниже кривой, во втором и четвёртом — вся область, где произведение не превышает \(6\)).

Для \(xy > -12\): гипербола \(xy=-12\). Область решений — все точки с произведением больше \(-12\), граница не включена (во втором и четвёртом квадрантах — выше ветвей \(xy=-12\), в первом и третьем — вся область с \(xy>-12\)).

Для \((x+y)(x-y-1) > 0\): граничные прямые \(y=-x\) и \(y=x-1\). Решение — объединение областей, где оба множителя положительны или оба отрицательны: \(x+y>0\) и \(x-y-1>0\), либо \(x+y<0\) и \(x-y-1<0\).

Построение графиков неравенств требует определения областей, где выполняются условия. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности с кратким решением и объяснением.

Для неравенства \( y > x^2 — 3x \): перепишем как \( y = x^2 — 3x \), это парабола, открытая вверх, с вершиной в \( x = 1.5 \). Область решения — выше этой параболы, не включая саму кривую (строгое неравенство).

Для неравенства \( (x + 2)^2 + y^2 \leq 4 \): это уравнение окружности с центром в \( (-2, 0) \) и радиусом 2. Область решения — внутри окружности, включая границу (нестрогое неравенство).

Для неравенства \( x^2 + y^2 — 4y > 0 \): преобразуем в \( x^2 + (y — 2)^2 > 4 \), это окружность с центром в \( (0, 2) \) и радиусом 2. Область решения — вне окружности, не включая границу.

Для неравенства \( xy \leq 6 \): кривая \( xy = 6 \) — гипербола. Область решения — под гиперболой в первом и третьем квадрантах, включая саму кривую.

Для неравенства \( xy > -12 \): кривая \( xy = -12 \) — гипербола. Область решения — над гиперболой во втором и четвертом квадрантах, не включая кривую.

Для неравенства \( (x + y)(x — y — 1) > 0 \): определим критические точки через \( x + y = 0 \) и \( x — y — 1 = 0 \), то есть линии \( y = -x \) и \( y = x — 1 \). Область решения — где произведение положительно, то есть между линиями или вне их в зависимости от знаков.

График каждой области можно построить, выделив соответствующие области на координатной плоскости, учитывая тип неравенства (строгое или нестрогое).