ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства \( |x + y| + |x — y| < 2 \).

Решение: воспользуемся подстановкой \(u=x+y\), \(v=x-y\). Тогда неравенство принимает вид \( |u|+|v|<2 \), а обратное линейное преобразование есть \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{u-v}{2}\).

Геометрия в \((u,v)\)-плоскости: множество \( |u|+|v|<2 \) — это внутренность ромба с вершинами \((2,0)\), \((-2,0)\), \((0,2)\), \((0,-2)\).

Возврат в \((x,y)\)-плоскость: вершины переходят в \((1,0)\), \((-1,0)\), \((0,1)\), \((0,-1)\). Следовательно, решение — внутренняя часть ромба с этими вершинами, без границы: \(|x|+|y|<1\).

Для построения графика неравенства \( |x + y| + |x — y| < 2 \) рассмотрим его геометрическую интерпретацию.

Сначала преобразуем неравенство. Заметим, что выражение \( |x + y| + |x — y| \) можно упростить, рассматривая разные случаи в зависимости от знаков \( x + y \) и \( x — y \). Однако проще использовать геометрический подход: это неравенство описывает область в координатной плоскости, где сумма расстояний от точки \( (x, y) \) до прямых \( y = -x \) и \( y = x \) меньше 2.

Если рассмотреть координаты, то \( |x + y| + |x — y| < 2 \) определяет область между этими прямыми, которая образует ромб с вершинами в точках \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \) и \( (0, -1) \). График неравенства — это внутренняя часть этого ромба, не включая границы, так как неравенство строгое.