ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства \( |2x — y| + |x + y| < 6 \).

Для решения неравенства \( |2x — y| + |x + y| \leq 6 \) нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от знаков выражений внутри модулей, определяемых прямыми \( y = 2x \) и \( y = -x \).

Сначала заметим, что неравенство симметрично относительно начала координат, так как замена \( x \) на \( -x \) и \( y \) на \( -y \) оставляет выражение неизменным: \( |2(-x) — (-y)| + |(-x) + (-y)| = |2x — y| + |x + y| \).

Разделим плоскость на области с помощью прямых \( y = 2x \) и \( y = -x \), чтобы определить знаки выражений \( 2x — y \) и \( x + y \). Рассмотрим ключевые случаи:

1. Если \( y \geq 2x \) и \( y \geq -x \), то \( 2x — y \leq 0 \), \( x + y \geq 0 \), и неравенство принимает вид \( -(2x — y) + (x + y) \leq 6 \), что упрощается до \( -x + 2y \leq 6 \) или \( y \leq \frac{x}{2} + 3 \).

2. Если \( y \leq 2x \) и \( y \geq -x \), то \( 2x — y \geq 0 \), \( x + y \geq 0 \), и неравенство становится \( (2x — y) + (x + y) \leq 6 \), то есть \( 3x \leq 6 \), или \( x \leq 2 \).

3. Если \( y \leq 2x \) и \( y \leq -x \), то \( 2x — y \geq 0 \), \( x + y \leq 0 \), и неравенство принимает вид \( (2x — y) — (x + y) \leq 6 \), что упрощается до \( x — 2y \leq 6 \) или \( y \geq \frac{x}{2} — 3 \).

4. Если \( y \geq 2x \) и \( y \leq -x \), то \( 2x — y \leq 0 \), \( x + y \leq 0 \), и неравенство становится \( -(2x — y) — (x + y) \leq 6 \), то есть \( -3x \leq 6 \), или \( x \geq -2 \).

Объединяя эти условия с учетом областей, получаем область решения, ограниченную линиями \( y = \frac{x}{2} + 3 \), \( y = \frac{x}{2} — 3 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \), с учетом пересечений прямых \( y = 2x \) и \( y = -x \). Это формирует многоугольник на плоскости, который и является решением неравенства.

1) Для начала отметим, что график неравенства \( |2x — y| + |x + y| \leq 6 \) симметричен относительно точки начала координат \( O(0, 0) \). Это можно проверить, подставив \( -x \) вместо \( x \) и \( -y \) вместо \( y \): \( |2(-x) — (-y)| + |(-x) + (-y)| = |-2x + y| + |-x — y|=\)
\( = |2x — y| + |x + y| \). Таким образом, выражение не меняется, что подтверждает симметрию относительно начала координат.

2) Чтобы построить график неравенства \( |2x — y| + |x + y| \leq 6 \), необходимо рассмотреть поведение выражений внутри модулей. Модули \( |2x — y| \) и \( |x + y| \) меняют знак на прямых \( y = 2x \) и \( y = -x \). Эти прямые делят координатную плоскость на четыре области, в каждой из которых знаки выражений внутри модулей постоянны. Рассмотрим случай, когда \( y \geq 2x \). Тогда \( 2x — y \leq 0 \), и \( |2x — y| = -(2x — y) = -2x + y \). При этом знак \( |x + y| \) зависит от положения относительно прямой \( y = -x \). Если \( y \geq -x \), то \( x + y \geq 0 \), и \( |x + y| = x + y \). Подставим в неравенство: \( (-2x + y) + (x + y) \leq 6 \), что упрощается до \( -x + 2y \leq 6 \), или \( y \leq \frac{x}{2} + 3 \).

3) Теперь рассмотрим случай, когда \( y \leq 2x \). Тогда \( 2x — y \geq 0 \), и \( |2x — y| = 2x — y \). Если при этом \( y \geq -x \), то \( x + y \geq 0 \), и \( |x + y| = x + y \). Подставим в неравенство: \( (2x — y) + (x + y) \leq 6 \), что упрощается до \( 3x \leq 6 \), или \( x \leq 2 \). Таким образом, в этой области решение определяется условием \( x \leq 2 \), с учетом границ \( y \leq 2x \) и \( y \geq -x \).

4) Далее рассмотрим случай, когда \( y \leq -x \). Тогда \( x + y \leq 0 \), и \( |x + y| = -(x + y) = -x — y \). Если при этом \( y \leq 2x \), то \( |2x — y| = 2x — y \). Подставим в неравенство: \( (2x — y) + (-x — y) \leq 6 \), что упрощается до \( x — 2y \leq 6 \), или \( y \geq \frac{x}{2} — 3 \). Это условие определяет часть области решения ниже прямой \( y = -x \).

5) Наконец, если \( y \geq 2x \) и \( y \leq -x \), то \( 2x — y \leq 0 \), и \( |2x — y| = -2x + y \), а также \( x + y \leq 0 \), и \( |x + y| = -x — y \). Подставим в неравенство: \( (-2x + y) + (-x — y) \leq 6 \), что упрощается до \( -3x \leq 6 \), или \( x \geq -2 \). Это условие определяет область слева от прямой \( x = -2 \) в соответствующем секторе.

6) Объединяя все области с учетом их границ, получаем, что решение неравенства \( |2x — y| + |x + y| \leq 6 \) представляет собой многоугольник на координатной плоскости. Его границы определяются линиями \( y = \frac{x}{2} + 3 \), \( y = \frac{x}{2} — 3 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \), с учетом пересечений с прямыми \( y = 2x \) и \( y = -x \). Точки пересечения можно найти, решая соответствующие системы уравнений, например, пересечение \( y = 2x \) и \( y = \frac{x}{2} + 3 \) дает точку \( x = 2 \), \( y = 4 \), и так далее для остальных вершин.

7) Таким образом, график неравенства представляет собой замкнутую область, включающую все точки, удовлетворяющие условиям из рассмотренных случаев. Эта область симметрична относительно начала координат, что соответствует свойству, установленному в пункте 1.