ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства:

1) \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \);

2) \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \).

1) \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \);

2) \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \).

Для неравенства \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \):

Перепишем выражение внутри модуля: \( x^2 — 4x + y^2 = (x-2)^2 — 4 + y^2 = (x-2)^2 + y^2 — 4 \). Тогда неравенство принимает вид \( |(x-2)^2 + y^2 — 4| < 2x \). Учитывая, что правая часть должна быть положительной, \( 2x > 0 \), то есть \( x > 0 \). Далее рассматриваем два случая в зависимости от знака выражения внутри модуля, но с учетом \( x > 0 \). После упрощений область определяется как внутренность окружности с центром в точке \( (2, 0) \) и радиусом, зависящим от \( x \), с ограничением \( x > 0 \). Это сложная область, которую лучше визуализировать графически.

Для неравенства \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \):

Сначала определяем область определения: для левой части \( x^2 — 1 \geq 0 \), то есть \( |x| \geq 1 \); для правой части \( 2x + 1 — y^2 \geq 0 \), то есть \( y^2 \leq 2x + 1 \). Возводим обе части в квадрат, учитывая, что обе стороны неотрицательны: \( x^2 — 1 \leq 2x + 1 — y^2 \). Упрощаем: \( y^2 \leq 2x + 2 — x^2 \). Это задает область внутри параболы, открытой вниз, с вершиной, зависящей от \( x \), и с учетом начальных ограничений на \( x \) и \( y \).