ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства:

1) \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \);

2) \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \).

Для неравенства \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \):

Перепишем: \(x^2 + y^2 — 4x = (x-2)^2 + y^2 — 4\), получаем \( |(x-2)^2 + y^2 — 4| < 2x\) и сразу \(x>0\). Тогда эквивалентно системе неравенств \( -2x < (x-2)^2 + y^2 — 4 < 2x\). Левая часть даёт \((x-2)^2 + y^2 < 4 + 2x = (x+1)^2 — 1\), правая часть даёт \((x-2)^2 + y^2 < 4 + 2x\) и \((x-2)^2 + y^2 > 4 — 2x\). Объединяя, получаем кольцевую область с перемещающейся границей, но учитывая \(x>0\), итоговая область: все точки, для которых одновременно выполняется \(x>0\) и \(4-2x < (x-2)^2 + y^2 < 4+2x\). Это внутренняя область между двумя окружностями, центр \((2,0)\), радиусы зависят от \(x\).

Для неравенства \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \):

Область определения: \(x^2-1\ge 0\) и \(2x+1-y^2\ge 0\), то есть \(|x|\ge 1\) и \(y^2\le 2x+1\). Возводим в квадрат: \(x^2-1 \le 2x+1 — y^2\), то есть \(y^2 \le -x^2+2x+2\). Совместив с \(y^2\le 2x+1\) и \(|x|\ge 1\), получаем итоговую область: все точки, для которых \(|x|\ge 1\) и \(y^2 \le \min\{2x+1,\,-x^2+2x+2\}\). Это часть области внутри ветвей парабол, ограниченная сверху условием \(|x|\ge 1\).

Для неравенства \( |x^2 + y^2 — 4x| < 2x \):

Перепишем выражение внутри модуля: \( x^2 — 4x + y^2 = (x-2)^2 — 4 + y^2 = (x-2)^2 + y^2 — 4 \). Тогда неравенство принимает вид \( |(x-2)^2 + y^2 — 4| < 2x \). Учитывая, что правая часть должна быть положительной, \( 2x > 0 \), то есть \( x > 0 \). Далее рассматриваем два случая в зависимости от знака выражения внутри модуля, но с учетом \( x > 0 \). После упрощений область определяется как внутренность окружности с центром в точке \( (2, 0) \) и радиусом, зависящим от \( x \), с ограничением \( x > 0 \). Это сложная область, которую лучше визуализировать графически.

Для неравенства \( \sqrt{x^2 — 1} \leq \sqrt{2x + 1 — y^2} \):

Сначала определяем область определения: для левой части \( x^2 — 1 \geq 0 \), то есть \( |x| \geq 1 \); для правой части \( 2x + 1 — y^2 \geq 0 \), то есть \( y^2 \leq 2x + 1 \). Возводим обе части в квадрат, учитывая, что обе стороны неотрицательны: \( x^2 — 1 \leq 2x + 1 — y^2 \). Упрощаем: \( y^2 \leq 2x + 2 — x^2 \). Это задает область внутри параболы, открытой вниз, с вершиной, зависящей от \( x \), и с учетом начальных ограничений на \( x \) и \( y \).