ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите график неравенства:

1) \( |x^2 — 1| > y^2 — 1 \);

2) \( |x^2 + y^2 — 2| \leq 2(x + y) \).

Для неравенства \( |x^2-1|>y^2-1 \) эквивалентно \( y^2<|x^2-1|+1 \). Это область между кривыми \( y=\pm\sqrt{|x^2-1|+1} \). Она симметрична относительно обеих осей; для \(|x|\le 1\) границы задаются \( y=\pm\sqrt{2-x^2} \), для \(|x|\ge 1\) — \( y=\pm\sqrt{x^2}=\pm|x| \). Область открыта по границе.

Для неравенства \( |x^2+y^2-2|\le 2(x+y) \) разобьём на два: \( -2(x+y)\le x^2+y^2-2\le 2(x+y) \). Левая часть даёт \( (x+1)^2+(y+1)^2\ge 4 \) (внешность и граница окружности с центром \( (-1,-1) \), радиус \( 2 \)). Правая часть даёт \( (x-1)^2+(y-1)^2\le 4 \) (внутренность и граница окружности с центром \( (1,1) \), радиус \( 2 \)). Итоговая область — пересечение: точки одновременно внутри (или на) окружности \( (x-1)^2+(y-1)^2\le 4 \) и вне (или на) окружности \( (x+1)^2+(y+1)^2\ge 4 \).

Для первого неравенства \( |x^2 — 1| > y^2 — 1 \):

Перепишем его как \( |x^2 — 1| + 1 > y^2 \). Это означает, что \( y^2 < |x^2 — 1| + 1 \). График представляет область, где квадрат \( y \) меньше значения выражения с \( x \). Это симметричная область относительно осей, ограниченная параболами, открытыми вверх и вниз, с вершинами в точках \( x = \pm 1 \).

Для второго неравенства \( |x^2 + y^2 — 2| \leq 2(x + y) \):

Сначала рассмотрим выражение внутри модуля. Учитывая \( x^2 + y^2 — 2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 — 1 \), преобразуем неравенство. После упрощений и анализа модуля получаем область, ограниченную окружностью с центром в \( (1, 1) \) и радиусом, зависящим от правой части. График — это область внутри или на границе окружности, смещённой относительно начала координат.