ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости \( xy \) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) \( \max \{2x, 1\} = x^2 + y^2 \);

2) \( \min \{y, 2y — 1\} = x^2 \).

Решение 1: \( \max\{2x,1\}=x^2+y^2\).
— Если \(x\ge \frac12\): \(x^2+y^2=2x\Rightarrow (x-1)^2+y^2=1\), берём точки с \(x\ge \frac12\).
— Если \(x<\frac12\): \(x^2+y^2=1\), берём точки с \(x<\frac12\).
Ответ: дуга \((x-1)^2+y^2=1\) при \(x\ge \frac12\) и дуга \(x^2+y^2=1\) при \(x<\frac12\).

Решение 2: \( \min\{y,2y-1\}=x^2\).
— При \(y\ge 1\): \(y=x^2\Rightarrow |x|\ge 1\).
— При \(y<1\): \(2y-1=x^2\Rightarrow y=\frac{x^2+1}{2}\Rightarrow |x|<1\).
Ответ: \(y=x^2\) при \(|x|\ge 1\) и \(y=\frac{x^2+1}{2}\) при \(|x|<1\).

Решаем первую часть условия \( \max \{2x, 1\} = x^2 + y^2 \).

Если \( 2x > 1 \), то \( x > \frac{1}{2} \), и уравнение принимает вид \( 2x = x^2 + y^2 \). Преобразуем: \( y^2 = 2x — x^2 = -(x^2 — 2x) = -(x-1)^2 + 1 \). Это парабола, открытая вниз, с вершиной в \( (1, 1) \), но учитываем \( x > \frac{1}{2} \).

Если \( 2x \leq 1 \), то \( x \leq \frac{1}{2} \), и уравнение становится \( 1 = x^2 + y^2 \). Это окружность радиусом 1 с центром в начале координат, но только для \( x \leq \frac{1}{2} \), то есть левая половина.

Теперь решаем вторую часть условия \( \min \{y, 2y — 1\} = x^2 \).

Если \( y < 2y — 1 \), то \( y > 1 \), и уравнение принимает вид \( y = x^2 \). Это парабола, но с условием \( y > 1 \).

Если \( y \geq 2y — 1 \), то \( y \leq 1 \), и уравнение становится \( 2y — 1 = x^2 \), откуда \( y = \frac{x^2 + 1}{2} \). Это тоже парабола, но с условием \( y \leq 1 \).

Ищем пересечения решений обеих частей. После анализа условий и подстановки значений видно, что пересечение множеств дает точки на параболе \( y = x^2 \) при \( x > \frac{1}{2} \) и \( y > 1 \), а также часть окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) при \( x \leq \frac{1}{2} \) и соответствующих значениях \( y \), удовлетворяющих второму условию.

Итоговое множество включает часть параболы и часть окружности, соединенные в точке \( x = \frac{1}{2} \).