ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости \( xy \) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) \( \max \{x^2 + y^2 — 1, 3\} = x^2 \);

2) \( \min \{x^2, |x|\} = y \).

1) max{x² + y² − 1, 3} = x²
— Если x² + y² ≥ 4, то x² + y² − 1 = x² ⇒ y² = 1 ⇒ y = ±1.
— Если x² + y² < 4, то 3 = x² ⇒ |x| = √3 (две вертикальные прямые).
Ответ: горизонтальные прямые y = 1 и y = −1 вне круга x² + y² = 4, плюс вертикальные прямые x = √3 и x = −√3 внутри круга x² + y² < 4.

2) min{x², |x|} = y
— Если |x| ≥ 1 или x = 0, то min = |x| ⇒ y = |x|.
— Если 0 < |x| < 1, то min = x² ⇒ y = x².
Ответ: график y = |x| при |x| ≥ 1 и в точке x = 0; и график y = x² на интервале −1 < x < 1 (кроме x = 0, где значение совпадает: y = 0).

Для решения задачи рассмотрим оба условия по отдельности и найдем множество точек, удовлетворяющих им одновременно.

Сначала разберем первое условие: \( \max \{x^2 + y^2 — 1, 3\} = x^2 \). Функция \( \max \) принимает значение \( x^2 \), если \( x^2 \geq 3 \), и \( x^2 + y^2 — 1 \), если \( x^2 + y^2 — 1 \geq 3 \). Поскольку \( x^2 \geq 0 \), а \( x^2 + y^2 — 1 \) может быть меньше 3, условие \( \max = x^2 \) выполняется, когда \( x^2 \geq x^2 + y^2 — 1 \), то есть \( y^2 \leq 1 \), и одновременно \( x^2 \geq 3 \). Таким образом, \( x^2 \geq 3 \) и \( |y| \leq 1 \).

Теперь рассмотрим второе условие: \( \min \{x^2, |x|\} = y \). Функция \( \min \) принимает меньшее из значений \( x^2 \) и \( |x| \), и это значение равно \( y \). Поскольку \( y \geq 0 \) (так как \( y = \min \{x^2, |x|\} \geq 0 \)), рассмотрим случаи: если \( |x| \leq 1 \), то \( x^2 \leq |x| \), и \( y = x^2 \); если \( |x| > 1 \), то \( |x| < x^2 \), и \( y = |x| \).

Объединяя оба условия, пересекаем множества. Из первого условия \( x^2 \geq 3 \), то есть \( |x| \geq \sqrt{3} \approx 1.732 \), а значит, \( |x| > 1 \), и из второго условия \( y = |x| \). Также \( |y| \leq 1 \), но поскольку \( y = |x| \geq \sqrt{3} > 1 \), это противоречит \( |y| \leq 1 \). Следовательно, нет точек, удовлетворяющих одновременно обоим условиям.

Ответ: множество точек, удовлетворяющих условиям, пусто, то есть \( \emptyset \).