ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости \( xy \) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) \( \max \{x^2 + y^2 — 1, 3\} = x^2 \);

2) \( \min \{x^2, |x|\} = y \).

1) \( \max \{x^2 + y^2 — 1, 3\} = x^2 \);

2) \( \min \{x^2, |x|\} = y \).

Для решения задачи рассмотрим оба условия по отдельности и найдем множество точек, удовлетворяющих им одновременно.

Сначала разберем первое условие: \( \max \{x^2 + y^2 — 1, 3\} = x^2 \). Функция \( \max \) принимает значение \( x^2 \), если \( x^2 \geq 3 \), и \( x^2 + y^2 — 1 \), если \( x^2 + y^2 — 1 \geq 3 \). Поскольку \( x^2 \geq 0 \), а \( x^2 + y^2 — 1 \) может быть меньше 3, условие \( \max = x^2 \) выполняется, когда \( x^2 \geq x^2 + y^2 — 1 \), то есть \( y^2 \leq 1 \), и одновременно \( x^2 \geq 3 \). Таким образом, \( x^2 \geq 3 \) и \( |y| \leq 1 \).

Теперь рассмотрим второе условие: \( \min \{x^2, |x|\} = y \). Функция \( \min \) принимает меньшее из значений \( x^2 \) и \( |x| \), и это значение равно \( y \). Поскольку \( y \geq 0 \) (так как \( y = \min \{x^2, |x|\} \geq 0 \)), рассмотрим случаи: если \( |x| \leq 1 \), то \( x^2 \leq |x| \), и \( y = x^2 \); если \( |x| > 1 \), то \( |x| < x^2 \), и \( y = |x| \).

Объединяя оба условия, пересекаем множества. Из первого условия \( x^2 \geq 3 \), то есть \( |x| \geq \sqrt{3} \approx 1.732 \), а значит, \( |x| > 1 \), и из второго условия \( y = |x| \). Также \( |y| \leq 1 \), но поскольку \( y = |x| \geq \sqrt{3} > 1 \), это противоречит \( |y| \leq 1 \). Следовательно, нет точек, удовлетворяющих одновременно обоим условиям.

Ответ: множество точек, удовлетворяющих условиям, пусто, то есть \( \emptyset \).