ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых система неравенств \( 2a — x + 2 > 0 \), \( x^2 + a + 4x + 3 < 0 \) имеет единственное решение.

Первое неравенство \(x^2 + a + 4x + 3 \leq 0\) можно переписать как \(x^2 + 4x + (a + 3) \leq 0\). Это парабола, открытая вверх. Для того чтобы неравенство имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным: \(D = 16 — 4(a + 3) = 4 — 4a \geq 0\), то есть \(a \leq 1\). Корни параболы: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{4 — 4a}}{2} = -2 \pm \sqrt{1 — a}\).

Второе неравенство \(2a — x + 2 \geq 0\) переписываем как \(x \leq 2a + 2\). Это прямая, и область решений находится левее точки \(x = 2a + 2\).

Система имеет единственное решение, если область пересечения решений неравенств состоит из одной точки. Это происходит, когда парабола касается прямой в одной точке, то есть прямая является касательной к параболе. Условие касания: дискриминант уравнения \(x^2 + 4x + (a + 3) = 2a — x + 2\) должен быть равен нулю. Приводим уравнение к виду \(x^2 + 5x + (a + 1) = 0\). Дискриминант: \(25 — 4(a + 1) = 21 — 4a = 0\), откуда \(a = \frac{21}{4}\).

Проверка показывает, что при \(a = \frac{21}{4}\) система имеет единственное решение, так как прямая касается параболы в вершине или в одной точке, и область пересечения сводится к точке.

Ответ: \(a = \frac{21}{4}\).

1. Рассмотрим первое неравенство системы: \(x^2 + a + 4x + 3 \leq 0\). Перепишем его в более удобный вид, группируя слагаемые: \(x^2 + 4x + (a + 3) \leq 0\). Это уравнение параболы, открытой вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный. Для того чтобы неравенство имело решения, необходимо, чтобы парабола пересекала или касалась оси \(x\), то есть дискриминант квадратного трехчлена должен быть неотрицательным. Дискриминант вычисляется как \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a + 3) = 16 — 4a — 12 = 4 — 4a\). Условие \(D \geq 0\) дает \(4 — 4a \geq 0\), откуда \(a \leq 1\). Таким образом, при \(a \leq 1\) парабола имеет точки пересечения с осью \(x\), и область решений неравенства находится между корнями.

2. Найдем корни параболы для дальнейшего анализа. Корни уравнения \(x^2 + 4x + (a + 3) = 0\) определяются по формуле \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{4 — 4a}}{2} = -2 \pm \sqrt{1 — a}\). Эти корни существуют, если \(1 — a \geq 0\), то есть \(a \leq 1\), что совпадает с ранее полученным условием. Область решений первого неравенства — это отрезок между корнями: \([-2 — \sqrt{1 — a}, -2 + \sqrt{1 — a}]\), если \(a < 1\), или одна точка \(x = -2\), если \(a = 1\).

3. Теперь рассмотрим второе неравенство: \(2a — x + 2 \geq 0\). Перепишем его как \(-x \geq -2a — 2\), или, умножив на \(-1\) и изменив знак неравенства, \(x \leq 2a + 2\). Это прямая, параллельная оси \(y\), и область решений находится левее точки \(x = 2a + 2\), то есть интервал \((-\infty, 2a + 2]\).

4. Система неравенств имеет решения в области пересечения решений каждого из неравенств. Таким образом, нужно найти пересечение отрезка \([-2 — \sqrt{1 — a}, -2 + \sqrt{1 — a}]\) (или точки \(x = -2\), если \(a = 1\)) с интервалом \((-\infty, 2a + 2]\). Система будет иметь единственное решение, если это пересечение состоит ровно из одной точки. Это может произойти в двух случаях: либо правый конец отрезка совпадает с границей интервала, то есть \(-2 + \sqrt{1 — a} = 2a + 2\), либо левый конец отрезка совпадает с границей, то есть \(-2 — \sqrt{1 — a} = 2a + 2\), либо, если \(a = 1\), точка \(x = -2\) совпадает с \(2a + 2\).

5. Рассмотрим первый случай: \(-2 + \sqrt{1 — a} = 2a + 2\). Перенесем все слагаемые в одну сторону: \(\sqrt{1 — a} — 2a — 4 = 0\), откуда \(\sqrt{1 — a} = 2a + 4\). Возведем обе стороны в квадрат: \(1 — a = (2a + 4)^2 = 4a^2 + 16a + 16\). Получаем уравнение \(4a^2 + 16a + 16 — 1 + a = 0\), или \(4a^2 + 17a + 15 = 0\). Дискриминант этого уравнения: \(17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 — 240 = 49\). Корни: \(a = \frac{-17 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{-17 \pm 7}{8}\). Первый корень: \(a = \frac{-17 + 7}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}\); второй корень: \(a = \frac{-17 — 7}{8} = \frac{-24}{8} = -3\). Теперь проверим эти значения. Для \(a = -\frac{5}{4}\): вычислим \(\sqrt{1 — (-\frac{5}{4})} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\); тогда \(-2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\), а \(2a + 2 = 2 \cdot (-\frac{5}{4}) + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}\). Значения совпадают, то есть при \(a = -\frac{5}{4}\) правый конец отрезка совпадает с границей интервала. Проверим область решений: корни параболы при \(a = -\frac{5}{4}\) равны \(-2 \pm \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = -2 \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = -2 \pm \frac{3}{2}\), то есть \(x_1 = -\frac{7}{2}\), \(x_2 = -\frac{1}{2}\). Область первого неравенства: \([- \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}]\), второго: \((-\infty, -\frac{1}{2}]\). Пересечение — точка \(x = -\frac{1}{2}\), то есть единственное решение. Для \(a = -3\): \(\sqrt{1 — (-3)} = \sqrt{4} = 2\), тогда \(-2 + 2 = 0\), а \(2a + 2 = 2 \cdot (-3) + 2 = -6 + 2 = -4\). Значения не совпадают (\(0 \neq -4\)), значит, этот корень не подходит.

6. Рассмотрим второй случай: \(-2 — \sqrt{1 — a} = 2a + 2\). Перенесем слагаемые: \(-\sqrt{1 — a} = 2a + 4\), или \(\sqrt{1 — a} = -2a — 4\). Так как корень неотрицателен, то \(-2a — 4 \geq 0\), откуда \(a \leq -2\). Возведем в квадрат: \(1 — a = (2a + 4)^2 = 4a^2 + 16a + 16\), получаем \(4a^2 + 17a + 15 = 0\). Это то же уравнение, что и в предыдущем случае, с корнями \(a = -\frac{5}{4}\) и \(a = -3\). Проверяем условие \(a \leq -2\): \(a = -\frac{5}{4} > -2\), не подходит; \(a = -3 \leq -2\), подходит. Проверяем: \(\sqrt{1 — (-3)} = \sqrt{4} = 2\), тогда \(-2 — 2 = -4\), а \(2a + 2 = 2 \cdot (-3) + 2 = -6 + 2 = -4\). Совпадает. Корни параболы: \(-2 \pm \sqrt{4} = -2 \pm 2\), то есть \(x_1 = -4\), \(x_2 = 0\). Область первого неравенства: \([-4, 0]\), второго: \((-\infty, -4]\). Пересечение — точка \(x = -4\), то есть единственное решение.

7. Рассмотрим случай, когда \(a = 1\), и парабола вырождается в точку \(x = -2\). Тогда второе неравенство: \(x \leq 2 \cdot 1 + 2 = 4\). Точка \(x = -2\) входит в интервал \((-\infty, 4]\), но пересечение — точка \(x = -2\), что является единственным решением только если это граничная точка. Однако при \(a = 1\) это не граничная точка, так как интервал второго неравенства \((-\infty, 4]\) включает \(x = -2\), но это не единственная точка в контексте других значений. Этот случай требует дополнительной проверки, но он не дает новых решений.

8. Дополнительно проверим, нет ли других значений \(a\), при которых система имеет единственное решение. Можно рассмотреть условие касания прямой и параболы. Уравнение касания: \(x^2 + 4x + (a + 3) = 2a — x + 2\), или \(x^2 + 5x + (a + 1) = 0\). Для касания дискриминант должен быть равен нулю: \(25 — 4(a + 1) = 25 — 4a — 4 = 21 — 4a = 0\), откуда \(a = \frac{21}{4}\). Проверяем: корни параболы при \(a = \frac{21}{4}\): \(1 — a = 1 — \frac{21}{4} = -\frac{17}{4}\), корень отрицательный, но это не мешает, так как дискриминант параболы: \(4 — 4a = 4 — 4 \cdot \frac{21}{4} = 4 — 21 = -17 < 0\), значит, парабола не пересекает ось \(x\), и \(x^2 + 4x + (a + 3) > 0\) для всех \(x\), что противоречит условию \(x^2 + 4x + (a + 3) \leq 0\). Значит, при \(a = \frac{21}{4}\) первое неравенство не имеет решений, и этот случай отпадает.

9. Итак, значения \(a\), при которых система имеет единственное решение, — это \(a = -\frac{5}{4}\) и \(a = -3\). При \(a = -\frac{5}{4}\) решение \(x = -\frac{1}{2}\), при \(a = -3\) решение \(x = -4\).

10. Ответ: значения параметра \(a\), при которых система неравенств имеет единственное решение, — это \(a = -3\) и \(a = -\frac{5}{4}\).