ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых система неравенств \( 2a — x + 2 > 0 \), \( x^2 + a + 4x + 3 < 0 \) имеет единственное решение.

Перепишем неравенства: из \(x^{2}+a+4x+3\le 0\) получаем \(x^{2}+4x+(a+3)\le 0\). Чтобы по \(x\) было единственное решение, квадратный трёхчлен должен иметь один корень, то есть дискриминант равен нулю: \(D=4^{2}-4\cdot 1\cdot (a+3)=16-4a-12=4-4a=0\), откуда \(a=1\). Тогда первое неравенство даёт \((x+2)^{2}\le 0\Rightarrow x=-2\).

Проверим второе неравенство при \(a=1\): \(2a-x+2\ge 0\Rightarrow 2\cdot 1-(-2)+2=6\ge 0\), верно для \(x=-2\). Кроме того, при \(a<1\) первый компонент даёт два значения \(x\), а при \(a>1\) множество решений по \(x\) есть \(\emptyset\).

Ответ: \(a=1\).

Рассмотрим систему неравенств: первое \(x^{2}+a+4x+3\le 0\) перепишем как \(a\le -x^{2}-4x-3=-(x+2)^{2}+1\), то есть множество допустимых пар \((x,a)\) лежит не выше графика параболы \(a=-(x+2)^{2}+1\). Второе неравенство \(2a-x+2\ge 0\) перепишем как \(a\ge \frac{x-2}{2}\), то есть множество допустимых пар \((x,a)\) лежит не ниже прямой \(a=\frac{x-2}{2}\). Совместное выполнение означает, что для фиксированного \(x\) параметр \(a\) должен одновременно удовлетворять \(a\le -(x+2)^{2}+1\) и \(a\ge \frac{x-2}{2}\), а значит \(\frac{x-2}{2}\le a\le -(x+2)^{2}+1\). Чтобы система имела единственное решение по \(x\), должна существовать ровно одна абсцисса, для которой отрезок по \(a\) не пуст и вмещает значение \(a\).

Отметим, что для любой фиксированной \(a\) первое неравенство эквивалентно \(x^{2}+4x+(a+3)\le 0\), то есть \(x\) лежит внутри или на границе параболического интервала, заданного квадратным трёхчленом. Единственность решения по \(x\) достигается, только если этот интервал вырождается в точку, то есть дискриминант равен нулю: \(D=4^{2}-4\cdot 1\cdot (a+3)=16-4a-12=4-4a=0\). Отсюда \(a=1\). При этом первое неравенство становится \(x^{2}+4x+4\le 0\), то есть \((x+2)^{2}\le 0\), что даёт единственный \(x=-2\).

Проверим второй компонент системы при \(a=1\): \(2a-x+2\ge 0\Rightarrow 2\cdot 1-(-2)+2\ge 0\Rightarrow 2+2+2\ge 0\Rightarrow 6\ge 0\), истинно для \(x=-2\). Кроме того, для любых \(a\ne 1\) первый компонент даёт либо два значения \(x\) (при \(a<1\)), либо пустое множество \(\emptyset\) (при \(a>1\)), что нарушает требование единственности решения системы. Следовательно, ровно при \(a=1\) система имеет единственный допустимый \(x\).

Ответ: \(a=1\).