ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) система \( x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0 \), \( x + a^2 = 0 \) имеет решения?

Для решения системы необходимо определить значения параметра \(a\), при которых неравенство \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0\) и уравнение \(x + a^2 = 0\) имеют общие решения.

Сначала рассмотрим уравнение \(x + a^2 = 0\), из которого \(x = -a^2\). Это значение \(x\) должно удовлетворять неравенству. Подставим \(x = -a^2\) в неравенство: \((-a^2)^2 — (3a + 1)(-a^2) + 2a^2 + 2a = a^4 + 3a^3 + a^2 + 2a^2 + 2a =\)
\(= a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2a\).

Выражение \(a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2a = a(a^3 + 3a^2 + 3a + 2)\) должно быть меньше 0. Корни кубического уравнения \(a^3 + 3a^2 + 3a + 2 = 0\) анализируются: производная \(3a^2 + 6a + 3 = 3(a + 1)^2 \geq 0\), значит, функция возрастает, и уравнение имеет один действительный корень (примерно \(a \approx -2.2\)). Таким образом, \(a(a^3 + 3a^2 + 3a + 2) < 0\) при \(a \in (-2, 0)\).

Теперь проверим дискриминант неравенства: \(D = (3a + 1)^2 — 4(2a^2 + 2a) = 9a^2 + 6a + 1 — 8a^2 — 8a = a^2 — 2a + 1 =\)
\(= (a — 1)^2 \geq 0\), что всегда выполняется. Корни квадратичного уравнения: \(x_1 = \frac{3a + 1 — (a — 1)}{2} = a + 1\), \(x_2 = \frac{3a + 1 + (a — 1)}{2} = 2a\). Неравенство \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0\) выполняется между корнями, если \(a + 1 < 2a\) (т.е. \(a > 0\)), то есть в интервале \(a + 1 < x < 2a\), или вне корней, если \(a + 1 > 2a\) (т.е. \(a < 0\)), то есть \(x < 2a\) или \(x > a + 1\).

Учитывая \(x = -a^2\), при \(a < 0\) проверяем условие \(x < 2a\) или \(x > a + 1\), что сводится к анализу \(a \in (-2, 0)\), где выражение отрицательно.

Ответ: \(a \in (-2, 0)\).

1) Преобразуем неравенство \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0\). Для этого найдем дискриминант квадратичного уравнения \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a = 0\). Дискриминант \(D = (3a + 1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 2a)\). Вычислим: \(D = 9a^2 + 6a + 1 — 8a^2 — 8a = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\). Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = \frac{(3a + 1) — (a — 1)}{2} = \frac{3a + 1 — a + 1}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1\), \(x_2 = \frac{(3a + 1) + (a — 1)}{2} = \frac{3a + 1 + a — 1}{2} = \frac{4a}{2} = 2a\).

2) Если \(a + 1 < 2a\), то есть \(a > 0\), то корни расположены в порядке \(x_1 = a + 1 < x_2 = 2a\), и неравенство \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0\) выполняется между корнями, то есть на интервале \(a + 1 < x < 2a\).

3) Если \(a + 1 > 2a\), то есть \(a < 0\), то корни расположены в порядке \(x_2 = 2a < x_1 = a + 1\), и неравенство \(x^2 — (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0\) выполняется вне корней, то есть на интервалах \(x < 2a\) или \(x > a + 1\).

4) Теперь учтем второе условие системы: \(x + a^2 = 0\), откуда \(x = -a^2\). Это значение \(x\) должно удовлетворять неравенству. Подставим \(x = -a^2\) в неравенство и проверим, при каких \(a\) система имеет решения. Также учитываем расположение точки \(x = -a^2\) относительно корней \(x_1\) и \(x_2\), чтобы определить, попадает ли она в область, где неравенство выполняется.

5) Рассмотрим случай \(a > 0\). Тогда неравенство выполняется на интервале \(a + 1 < x < 2a\). Проверим, попадает ли \(x = -a^2\) в этот интервал. Так как \(a > 0\), то \(x = -a^2 < 0\), а \(a + 1 > 1 > 0\) и \(2a > 0\), значит, \(-a^2 < 0 < a + 1\), то есть \(x = -a^2\) не попадает в интервал \(a + 1 < x < 2a\). Следовательно, при \(a > 0\) решений нет.

6) Рассмотрим случай \(a < 0\). Тогда неравенство выполняется на интервалах \(x < 2a\) или \(x > a + 1\). Так как \(a < 0\), то \(2a < 0\), а \(a + 1\) может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от \(a\). Проверим условие \(x = -a^2 < 2a\). Поскольку \(a < 0\), умножим на \(-1\) с изменением знака неравенства: \(a^2 > -2a\), или \(a^2 + 2a > 0\), \(a(a + 2) > 0\). Корни \(a = 0\) и \(a = -2\), и так как \(a < 0\), то \(a(a + 2) > 0\) при \(a < -2\). Проверим второе условие \(x = -a^2 > a + 1\), или \(-a^2 — a — 1 > 0\), \(a^2 + a + 1 < 0\). Дискриминант \(1 — 4 = -3 < 0\), значит, \(a^2 + a + 1 > 0\) всегда, и условие \(x > a + 1\) не выполняется ни при каких \(a\).

7) Таким образом, при \(a < 0\) точка \(x = -a^2\) попадает в область \(x < 2a\), если \(a < -2\). Однако необходимо проверить само неравенство. Подставим \(x = -a^2\) в левую часть: \((-a^2)^2 — (3a + 1)(-a^2) + 2a^2 + 2a = a^4 + (3a + 1)a^2 + 2a^2 + 2a = a^4 +\)
\(+ 3a^3 + a^2 + 2a^2 + 2a = a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2a = a(a^3 + 3a^2 + 3a + 2)\). Анализируем знак выражения \(a^3 + 3a^2 + 3a + 2\). Производная \(3a^2 + 6a + 3 = 3(a + 1)^2 \geq 0\), значит, функция возрастает. При \(a = -2\), значение \(a^3 + 3a^2 + 3a + 2 = -8 + 12 — 6 + 2 = 0\), но численно корень ближе к \(-2.2\), и выражение отрицательно при \(a \in (-2, 0)\).

8) Итог: неравенство выполняется для \(x = -a^2\), когда \(a(a^3 + 3a^2 + 3a + 2) < 0\), что соответствует \(a \in (-2, 0)\).

Ответ: \(a \in (-2, 0)\).