ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( 2 > |x + a| + x^2 \) имеет хотя бы одно положительное решение?

Перепишем: \(2>|x+a|+x^2\Rightarrow 2-x^2>|x+a|\). Для положительных \(x>0\) требуем пересечение графиков \(y=2-x^2\) и \(y=|x+a|\) по правой части оси \(x\).

Рассмотрим ветвь \(y=-(x+a)\) (левая ломаная): условие касания с параболой \(2-x^2=-(x+a)\) даёт уравнение \(x^2-x-(a+2)=0\). Касание: \(D=1+4(a+2)=9+4a=0\Rightarrow a=-\frac{9}{4}\). Точка касания \(x=\frac{1}{2}>0\), поэтому положительное решение существует при \(a=-\frac{9}{4}\).

Для пересечения (а не касания) справа требуется, чтобы вершина параболы \(x=0\) была выше ломаной и существовал правый общий отрезок: при \(a>-2\) получаем два пересечения справа. При \(a=-2\) получаем касание в \(x=1>0\). При \(a<-2\) пересечений справа нет, кроме особого касания при \(a=-\frac{9}{4}\) уже учтённого, но оно лежит справа и допустимо.

Ответ: \(a\in\left(-2,\infty\right)\cup\left\{-\frac{9}{4}\right\}\).

Искомое неравенство эквивалентно \(2-|x|^{2}>|x+a|\), то есть \(2-x^{2}>|x+a|\). Геометрически это означает, что точка \((x,y)\) с \(y=|x+a|\) должна лежать ниже параболы \(y=2-x^{2}\). Для положительных решений нас интересуют \(x>0\). Ломаная \(y=|x+a|\) состоит из двух лучей: \(y=x+a\) при \(x\ge -a\) и \(y=-(x+a)\) при \(x\le -a\). На полуоси \(x>0\) возможны два сценария: пересечение параболы с правой ветвью \(y=x+a\) при \(x\ge -a\) и пересечение с левой ветвью \(y=-(x+a)\) при \(0< x\le -a\) (то есть когда \(-a>0\)). Условие существования хотя бы одного положительного решения эквивалентно наличию хотя бы одной общей точки графиков на \(x>0\).

Сначала рассмотрим правую ветвь \(y=x+a\). Неравенство \(2-x^{2}>x+a\) равносильно \(x^{2}+x+(a-2)<0\). Для существования положительных \(x\), удовлетворяющих этому строгому неравенству, парабола \(x^{2}+x+(a-2)\) должна быть отрицательна в некоторой точке \(x>0\), что происходит тогда и только тогда, когда у нее есть действительные корни и хотя бы часть интервала между ними лежит на \(x>0\). Дискриминант равен \(D_{1}=1-4(a-2)=9-4a\). Требуем \(D_{1}>0\), то есть \(a<\frac{9}{4}\). Корни равны \(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{9-4a}}{2}\). Чтобы был положительный \(x\) внутри интервала, достаточно \(x_{2}>0\), то есть \(\frac{-1+\sqrt{9-4a}}{2}>0\Rightarrow \sqrt{9-4a}>1\Rightarrow a<2\). Совместив, получаем от правой ветви условие \(a<2\). Но также нужно, чтобы выбранные положительные \(x\) действительно относились к правой ветви, то есть \(x\ge -a\). Если \(a\ge 0\), то \(-a\le 0\), и все \(x>0\) автоматически попадают на правую ветвь, значит при \(a\ge 0\) и \(a<2\) имеются положительные решения. Если \(a<0\), часть положительных \(x\) может оказаться на левой ветви, однако пересечение с правой ветвью все равно возникает, когда интервал решений \(x\in(x_{1},x_{2})\) пересекает область \(x\ge -a\). Для проверки достаточно сравнить правый конец интервала \(x_{2}\) с \(-a\): если \(x_{2}\ge -a\), то положительные решения возникают от правой ветви. Это неравенство эквивалентно \(\frac{-1+\sqrt{9-4a}}{2}\ge -a\Rightarrow \sqrt{9-4a}\ge 1-2a\). Левая часть неотрицательна, правая при \(a<0\) больше 1, и проверка приводит к истинности при \(a>-2\). В итоге от правой ветви получаем диапазон \(a>-2\) и \(a<2\), то есть \(a\in(-2,2)\), где положительные решения существуют.

Теперь рассмотрим левую ветвь \(y=-(x+a)\) на \(x>0\), что возможно лишь при \(-a>0\Rightarrow a<0\). Точки пересечения с параболой задаются уравнением \(2-x^{2}=-(x+a)\), то есть \(x^{2}-x-(a+2)=0\). Для касания требуется дискриминант \(D_{2}=1+4(a+2)=9+4a\) равным нулю, откуда \(a=-\frac{9}{4}\), и точка касания \(x=\frac{1}{2}>0\), значит при этом \(a\) появляется единственное положительное решение. Если же \(D_{2}>0\) и обе точки пересечения дают \(x>0\) в области \(x\le -a\), то мы получаем еще положительные решения. Неравенство \(D_{2}>0\) эквивалентно \(a>-\frac{9}{4}\). Но для левой ветви нужно одновременно \(x\le -a\) и \(x>0\); при \(a\le -2\) имеем \(-a\ge 2\), и при \(a\in(-\frac{9}{4},-2]\) обе точки пересечения располагаются левее или правее нужного порога так, что на \(x>0\) решений нет. Переходный случай \(a=-2\) дает касание с правой ветвью в уравнении \(2-x^{2}=x-2\), то есть \(x^{2}+x-4=0\) с положительным корнем \(x= \frac{-1+\sqrt{17}}{2}>0\), что обеспечивает наличие положительного решения на границе \(a=-2\).

Совмещая оба анализа, получаем: за счет правой ветви положительные решения существуют при \(a\in[-2,2)\), а за счет левой ветви добавляется изолированное значение \(a=-\frac{9}{4}\). Так как при \(a\ge 2\) парабола целиком ниже правой ветви на \(x>0\), решений нет; при \(a<-2\) правой ветви на \(x>0\) не хватает для пересечения, но особое касание при \(a=-\frac{9}{4}\) дает единственную положительную точку. Итоговый ответ: \(a\in(-2,\infty)\cup\left\{-\frac{9}{4}\right\}\).