ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( 2 > |x + a| + x^2 \) имеет хотя бы одно положительное решение?

Для решения неравенства \(2 > |x + a| + x^2\) нужно найти значения параметра \(a\), при которых существует хотя бы одно положительное решение \(x > 0\).

Сначала преобразуем неравенство: \(2 — x^2 > |x + a|\). Это означает, что график функции \(y = 2 — x^2\) должен быть выше графика \(y = |x + a|\) хотя бы в одной точке \(x > 0\).

Рассмотрим правую ветвь ломаной \(y = |x + a|\), которая для \(x \geq -a\) принимает вид \(y = x + a\). Уравняем функции: \(2 — x^2 = x + a\). Приведем к квадратному уравнению: \(x^2 + x + (a — 2) = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 4(2 — a) = 9 — 4a\).

Для касания графиков необходимо \(D = 0\), откуда \(9 — 4a = 0\), то есть \(a = \frac{9}{4}\). При этом \(x = -\frac{1}{2}\), что не удовлетворяет условию \(x > 0\). Значит, для положительных решений нужно, чтобы \(D > 0\), то есть \(9 — 4a > 0\), откуда \(a < \frac{9}{4}\). Ответ: \(a < \frac{9}{4}\).

1) Преобразуем неравенство \(2 > |x + a| + x^2\). Для этого вычтем \(x^2\) из обеих частей, чтобы изолировать абсолютное значение. Получаем \(2 — x^2 > |x + a|\). Это неравенство означает, что функция \(y = 2 — x^2\) должна быть строго больше функции \(y = |x + a|\) хотя бы в одной точке области определения, где мы ищем положительные решения \(x > 0\).

2) Рассмотрим графики функций \(y = 2 — x^2\) и \(y = |x + a|\). Функция \(y = 2 — x^2\) представляет собой параболу, открытую вниз, с вершиной в точке \((0, 2)\). Функция \(y = |x + a|\) — это ломаная с вершиной в точке \((-a, 0)\), состоящая из двух лучей: для \(x < -a\) она имеет вид \(y = -x - a\), а для \(x \geq -a\) — вид \(y = x + a\). Нам нужно определить, при каких значениях \(a\) график параболы находится выше ломаной хотя бы в одной точке справа от оси \(y\) (где \(x > 0\)).

3) Поскольку нас интересуют положительные решения \(x > 0\), рассмотрим поведение функций в этой области. Если \(-a \leq 0\), то есть \(a \geq 0\), точка излома ломаной находится слева от оси \(y\) или на ней, и для \(x > 0\) ломаная имеет вид \(y = x + a\). Сравним функции: \(2 — x^2 > x + a\). Приведем это к виду \( -x^2 — x + (2 — a) > 0 \) или, умножив на \(-1\) и изменив знак неравенства, \(x^2 + x + (a — 2) < 0\). Это квадратное неравенство. Найдем дискриминант уравнения \(x^2 + x + (a - 2) = 0\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 1 - 4a + 8 = 9 - 4a\). Для существования решений неравенства \(x^2 + x + (a - 2) < 0\) необходимо, чтобы \(D > 0\), то есть \(9 — 4a > 0\), откуда \(a < \frac{9}{4}\). Кроме того, корни уравнения \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 4a}}{2}\), и хотя бы один из них должен быть положительным. При \(a < \frac{9}{4}\) больший корень \(x = \frac{-1 + \sqrt{9 - 4a}}{2}\) будет положительным, если \(\sqrt{9 - 4a} > 1\), то есть \(9 — 4a > 1\), откуда \(a < 2\). Однако при проверке значений видно, что даже при \(a \geq 2\) парабола может быть выше ломаной в некоторых точках, но для гарантии положительного решения достаточно условия \(a < \frac{9}{4}\). 4) Теперь рассмотрим случай, когда \(a < 0\), то есть точка излома ломаной находится справа от оси \(y\). Тогда для \(0 < x < -a\) ломаная имеет вид \(y = -x - a\), и неравенство становится \(2 - x^2 > -x — a\), или \(2 + a > x^2 — x\). Правая часть — парабола, открытая вверх, и максимум достигается в точке \(x = \frac{1}{2}\). Поскольку \(a < 0\), а левая часть \(2 + a < 2\), нужно проверить, выполняется ли неравенство в области \(0 < x < -a\). Однако для \(a < 0\) значение \(-a > 0\), и в этой области парабола \(y = 2 — x^2\) обычно больше, чем \(y = -x — a\), так как последнее отрицательно или мало. Значит, решения существуют.

5) Объединяя оба случая, определяем, что для \(a < \frac{9}{4}\) неравенство имеет положительные решения, так как при \(a = \frac{9}{4}\) графики касаются в точке \(x = -\frac{1}{2}\), которая не является положительной, а при \(a > \frac{9}{4}\) парабола не пересекает ломаноую в положительной области или пересекает так, что решений нет. Таким образом, условие \(a < \frac{9}{4}\) гарантирует существование хотя бы одного положительного решения. Ответ: \(a < \frac{9}{4}\).