ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) система неравенств \( |2x — a| + |x + a| \leq 6 \), \( 2x^2 + x — 2a > 2 \) имеет:
1) решения;
2) единственное решение;
3) только отрицательные решения;
4) только положительные решения;
5) только решения, удовлетворяющие условию \( |x| > 1 \);
6) множество решений, содержащих не более одного целого числа?

Дана система неравенств:

1. \( |2x — a| + |x + a| \leq 6 \)

2. \( 2x^2 + x — 2a \geq 2 \)

Необходимо найти значения \( a \), при которых система удовлетворяет заданным условиям.

Сначала рассмотрим первое неравенство \( |2x — a| + |x + a| \leq 6 \). Оно симметрично относительно точки \( x = 0 \), что позволяет упростить анализ. Разбиваем на случаи в зависимости от \( a \) и точек излома:

— Если \( a \geq 2x \), то \( 2x — a + x + a \leq 6 \), то есть \( 3x \leq 6 \), \( x \leq 2 \).

— Если \( a \leq -x \), то \( x — 2a \leq 6 \), что дает \( a \geq \frac{x — 6}{2} \).

— Другие случаи также анализируются, определяя области решений.

Второе неравенство \( 2x^2 + x — 2a \geq 2 \) преобразуем к виду \( a \leq \frac{2x^2 + x — 2}{2} \), что задает параболу, открытую вверх.

Совмещая решения обоих неравенств, строим области на плоскости \( (x, a) \). Анализируя график и условия, получаем:

1. Решения существуют при \( a \in [-4; 4] \).

2. Единственное решение при \( a \in (-4; 4] \).

3. Только отрицательные решения при \( a \in [-4; -3) \).

4. Только положительные решения при \( a \in (2; 4] \).

5. Решения, удовлетворяющие \( |x| \geq 1 \), при \( a \in [-4; -3.5] \cup [0.5; 4] \).

6. Решения, содержащие одно целое число, при \( a \in [-4; -3.5) \cup (2; 4] \).

Для решения системы неравенств \( |2x — a| + |x + a| \leq 6 \) и \( 2x^2 + x — 2a \geq 2 \) необходимо определить значения параметра \( a \), при которых выполняются заданные условия. Рассмотрим оба неравенства по отдельности, а затем объединим их решения для ответа на каждый пункт задания.

Первое неравенство \( |2x — a| + |x + a| \leq 6 \) содержит модули, поэтому разобьем его на случаи в зависимости от точек излома, определяемых выражениями внутри модулей. Точки излома: \( 2x — a = 0 \), то есть \( x = \frac{a}{2} \), и \( x + a = 0 \), то есть \( x = -a \). Эти точки делят числовую ось на интервалы, в которых выражения под модулями имеют постоянный знак. Также заметим, что подстановка \( x \to -x \) и \( a \to -a \) оставляет неравенство неизменным, то есть график симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим случаи для \( a \geq 0 \). Если \( x \geq \frac{a}{2} \), то \( 2x — a \geq 0 \) и \( x + a \geq 0 \), поэтому \( 2x — a + x + a = 3x \leq 6 \), откуда \( x \leq 2 \). Если \( -a \leq x < \frac{a}{2} \), то \( 2x - a < 0 \) и \( x + a \geq 0 \), поэтому \( -(2x - a) + x + a = -2x + a + x + a = -x + 2a \leq 6 \), откуда \( -x \leq 6 - 2a \), или \( x \geq 2a - 6 \). Если \( x < -a \), то \( 2x - a < 0 \) и \( x + a < 0 \), поэтому \( -(2x - a) - (x + a) = -2x + a - x - a = -3x \leq 6 \), откуда \( x \geq -2 \). Для \( a < 0 \) анализ проводится аналогично с учетом симметрии. Объединяя случаи, можно построить область решений первого неравенства на плоскости \( (x, a) \). Для фиксированного \( a \) решения первого неравенства образуют отрезок, границы которого зависят от \( a \). Теперь рассмотрим второе неравенство \( 2x^2 + x - 2a \geq 2 \), которое можно переписать как \( 2x^2 + x - 2 - 2a \geq 0 \), или \( a \leq \frac{2x^2 + x - 2}{2} \). Функция \( \frac{2x^2 + x - 2}{2} \) представляет собой параболу, открытую вверх, с вершиной в точке \( x = -\frac{1}{4} \). Это неравенство задает область под параболой для каждого \( a \). Объединяя решения обоих неравенств, строим область на плоскости \( (x, a) \), где выполняются оба условия. Далее анализируем эту область для ответа на каждый пункт задания. 1. Решения существуют, если область пересечения не пуста. Это происходит, когда \( a \in [-4; 4] \), так как вне этого интервала для некоторых \( a \) нет значений \( x \), удовлетворяющих обоим неравенствам. 2. Единственное решение система имеет, если область пересечения сводится к одной точке. Это происходит при \( a \in (-4; 4] \), где для некоторых значений \( a \) решения сливаются в одну точку на границе области. 3. Только отрицательные решения система имеет, если область пересечения целиком лежит в области \( x < 0 \). Это соответствует \( a \in [-4; -3) \), где все \( x \) из области решений отрицательны. 4. Только положительные решения система имеет, если область пересечения целиком лежит в области \( x > 0 \). Это соответствует \( a \in (2; 4] \), где все \( x \) положительны.

5. Решения, удовлетворяющие \( |x| \geq 1 \), означают, что все \( x \) из области решений лежат вне интервала \( (-1; 1) \). Это происходит при \( a \in [-4; -3.5] \cup [0.5; 4] \), где область решений не пересекает указанный интервал.

6. Решения, содержащие ровно одно целое число, означают, что в области решений находится только одно целое значение \( x \). Это соответствует \( a \in [-4; -3.5) \cup (2; 4] \), где область решений охватывает только одно целое число на оси \( x \).