ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \( (12x — 1)(6x — 1)(4x — 1)(3x — 1) = 5 \).

Решаем уравнение \((12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5\).

Сначала сгруппируем множители: \((12x-1)(4x-1)\) и \((6x-1)(3x-1)\).

Вычислим: \((12x-1)(4x-1) = 48x^2 — 12x — 4x + 1 = 48x^2 — 16x + 1\),
а \((6x-1)(3x-1) = 18x^2 — 6x — 3x + 1 = 18x^2 — 9x + 1\).

Получаем: \((48x^2 — 16x + 1)(18x^2 — 9x + 1) = 5\).

Раскроем скобки: \(864x^4 — 432x^3 + 48x^2 — 288x^3 + 144x^2 — 16x + 18x^2 — 9x + 1 = 5\),
упростим: \(864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x — 4 = 0\).

Это уравнение четвертой степени, попробуем разложить на множители. Заметим, что можно выделить общий множитель \((2x-1)\). После разложения и упрощений получаем: \((2x-1)(12x+1)(36x^2 — 15x + 4) = 0\).

Теперь решим каждое уравнение:
\(2x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\),
\(12x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{12}\).

Для \(36x^2 — 15x + 4 = 0\) вычислим дискриминант: \(D = 225 — 576 = -351 < 0\), корней нет.

Ответ: \(x = \frac{1}{2}, \, x = -\frac{1}{12}\).

1. Решаем уравнение \((12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5\). Наша цель — найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому равенству. Уравнение содержит четыре линейных множителя, и их произведение равно 5. Прямое раскрытие скобок может быть сложным, поэтому попробуем упростить выражение, сгруппировав множители.

2. Сгруппируем множители попарно, чтобы упростить вычисления. Рассмотрим пары \((12x-1)(4x-1)\) и \((6x-1)(3x-1)\). Вычислим произведение первой пары: \((12x-1)(4x-1) = 12x \cdot 4x + 12x \cdot (-1) + (-1) \cdot 4x + (-1) \cdot (-1)=\)
\( = 48x^2 — 12x — 4x + 1 = 48x^2 — 16x + 1\).

3. Теперь вычислим произведение второй пары: \((6x-1)(3x-1) = 6x \cdot 3x + 6x \cdot (-1) + (-1) \cdot 3x + (-1) \cdot (-1) =\)
\(= 18x^2 — 6x — 3x + 1 = 18x^2 — 9x + 1\).

4. В результате у нас получилось уравнение \((48x^2 — 16x + 1)(18x^2 — 9x + 1) = 5\). Теперь нужно раскрыть скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду многочлена. Раскроем произведение, умножая каждый член первого множителя на каждый член второго: \((48x^2)(18x^2) = 864x^4\), \((48x^2)(-9x) = -432x^3\), \((48x^2)(1) = 48x^2\), \((-16x)(18x^2) = -288x^3\), \((-16x)(-9x) = 144x^2\), \((-16x)(1) = -16x\), \((1)(18x^2) = 18x^2\), \((1)(-9x) = -9x\), \((1)(1) = 1\).

5. Сложим все полученные слагаемые: \(864x^4 — 432x^3 — 288x^3 + 48x^2 + 144x^2 + 18x^2 — 16x — 9x + 1 =\)
\(= 864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x + 1\). Уравнение теперь выглядит как \(864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x + 1 = 5\). Перенесем 5 в левую часть, вычитая его: \(864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x + 1 — 5 = 864x^4 — 720x^3 + 210x^2 -\)
\(- 25x — 4 = 0\).

6. Получили уравнение четвертой степени: \(864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x — 4 = 0\). Решение таких уравнений может быть сложным, поэтому попробуем разложить его на множители. Заметим, что в исходном уравнении есть множители вида \(ax-1\), и можно попробовать подставить значения \(x\), которые делают некоторые множители равными нулю, чтобы проверить, являются ли они корнями.

7. Подставим \(x = \frac{1}{2}\): \(12 \cdot \frac{1}{2} — 1 = 6 — 1 = 5\), \(6 \cdot \frac{1}{2} — 1 = 3 — 1 = 2\), \(4 \cdot \frac{1}{2} — 1 = 2 — 1 = 1\), \(3 \cdot \frac{1}{2} — 1 = 1.5 — 1 = 0.5\). Произведение: \(5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0.5 = 5\), что равно правой части уравнения. Значит, \(x = \frac{1}{2}\) — корень. Это наводит на мысль, что \((2x-1)\) является множителем.

8. Также проверим \(x = -\frac{1}{12}\): \(12 \cdot (-\frac{1}{12}) — 1 = -1 — 1 = -2\), \(6 \cdot (-\frac{1}{12}) — 1 = -\frac{6}{12} — 1 = -0.5 — 1 = -1.5\), \(4 \cdot (-\frac{1}{12}) — 1 = -\frac{4}{12} — 1 = -\frac{1}{3} — 1 = -\frac{4}{3}\), \(3 \cdot (-\frac{1}{12}) — 1 = -\frac{3}{12} — 1 = -0.25 — 1 = -1.25\). Произведение по модулю и знакам дает 5, значит, \(x = -\frac{1}{12}\) тоже корень, и \((12x+1)\) — множитель.

9. Разложим многочлен на множители, используя найденные корни. Делим \(864x^4 — 720x^3 + 210x^2 — 25x — 4\) на \((2x-1)(12x+1) = 24x^2 + 10x — 1\). Используем метод деления многочленов или подстановку, чтобы найти оставшуюся часть. После деления получаем множитель вида \(36x^2 — 15x + 4\). Итог: \((2x-1)(12x+1)(36x^2 — 15x + 4) = 0\).

10. Решаем полученные уравнения. Из \((2x-1) = 0\) получаем \(x = \frac{1}{2}\). Из \((12x+1) = 0\) получаем \(x = -\frac{1}{12}\). Для \(36x^2 — 15x + 4 = 0\) вычислим дискриминант: \(D = (-15)^2 — 4 \cdot 36 \cdot 4 = 225 — 576 = -351 < 0\). Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: \(x = \frac{1}{2}, \, x = -\frac{1}{12}\).