ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
1) \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10\);
2) \(a(a-2) > -1\).

Для первого неравенства: докажем, что \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10\). Раскроем скобки: \((y + 5)(y — 2) = y^2 — 2y + 5y — 10 = y^2 + 3y — 10\). Теперь неравенство принимает вид \(y^2 + 3y — 10 \geq 3y — 10\). Вычтем из обеих сторон \(3y — 10\), получим \(y^2 \geq 0\), что всегда верно для любого \(y\). Неравенство доказано.

Для второго неравенства: докажем, что \(a(a — 2) \geq -1\). Раскроем скобки: \(a(a — 2) = a^2 — 2a\). Неравенство становится \(a^2 — 2a \geq -1\). Прибавим 1 к обеим сторонам: \(a^2 — 2a + 1 \geq 0\), что эквивалентно \((a — 1)^2 \geq 0\). Это выражение всегда истинно для любого \(a\). Неравенство доказано.

1) Рассмотрим первое неравенство \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10\). Наша цель — доказать, что это неравенство выполняется для всех значений \(y\). Для этого мы преобразуем выражение шаг за шагом, чтобы показать, что оно всегда истинно.

Начнем с раскрытия скобок в левой части неравенства. Умножим \((y + 5)\) на \((y — 2)\): \((y + 5)(y — 2) = y \cdot y + y \cdot (-2) + 5 \cdot y + 5 \cdot (-2) = y^2 — 2y + 5y — 10\). Сложим подобные слагаемые: \(-2y + 5y = 3y\), так что получаем \(y^2 + 3y — 10\). Теперь наше неравенство выглядит как \(y^2 + 3y — 10 \geq 3y — 10\).

Далее перенесем все члены, связанные с \(3y — 10\), в правую часть, чтобы упростить выражение. Вычтем \(3y — 10\) из обеих сторон: \(y^2 + 3y — 10 — (3y — 10) \geq 3y — 10 — (3y — 10)\). Слева получаем \(y^2 + 3y — 10 — 3y + 10 = y^2\), а справа \(3y — 10 — 3y + 10 = 0\). Таким образом, неравенство сводится к \(y^2 \geq 0\).

Теперь проанализируем выражение \(y^2 \geq 0\). Квадрат любого действительного числа \(y\) всегда неотрицателен, то есть \(y^2 \geq 0\) выполняется для всех \(y \in \mathbb{R}\). Это означает, что исходное неравенство \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10\) истинно при любом значении \(y\). Неравенство доказано.

2) Перейдем ко второму неравенству \(a(a — 2) \geq -1\). Мы должны показать, что это неравенство выполняется для всех значений \(a\). Начнем с преобразования левой части.

Раскроем скобки: \(a(a — 2) = a \cdot a + a \cdot (-2) = a^2 — 2a\). Теперь неравенство принимает вид \(a^2 — 2a \geq -1\). Чтобы упростить, перенесем \(-1\) в левую часть, прибавив 1 к обеим сторонам: \(a^2 — 2a + 1 \geq -1 + 1\), что дает \(a^2 — 2a + 1 \geq 0\).

Обратите внимание, что \(a^2 — 2a + 1\) можно записать как полный квадрат: \(a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\). Таким образом, неравенство становится \((a — 1)^2 \geq 0\). Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \((a — 1)^2 \geq 0\) выполняется для всех \(a \in \mathbb{R}\).

Следовательно, исходное неравенство \(a(a — 2) \geq -1\) истинно при любом значении \(a\). Неравенство доказано.