ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\);

2) \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\);

3) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\);

4) \(a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\);

5) \(2a^2 + b^2 + c^2 > 2a(b + c)\).

Для первого неравенства \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\): перепишем выражение как \(a^2 + 6a + 9 + b^2 — 4b + 4 = (a + 3)^2 + (b — 2)^2 \geq 0\). Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, неравенство доказано.

Для второго неравенства \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\): преобразуем в \(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 + 2 = (x — 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0\). Сумма квадратов плюс положительное число всегда больше нуля, неравенство доказано.

Для третьего неравенства \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4a + 4b + 4c\): перепишем как \(a^2 — 4a + 4 + b^2 — 4b + 4 + c^2 — 4c + 4 = (a — 2)^2 + (b — 2)^2 + (c — 2)^2 \geq 0\). Сумма квадратов неотрицательна, неравенство доказано.

Для четвертого неравенства \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\): преобразуем в \(a^2 b^2 — 2ab + 1 + a^2 — 2ab + b^2 = (ab — 1)^2 + (a — b)^2 \geq 0\). Сумма квадратов неотрицательна, неравенство доказано.

Для пятого неравенства \(2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)\): перепишем как \(a^2 — 2ab + b^2 + a^2 — 2ac + c^2 = (a — b)^2 + (a — c)^2 \geq 0\). Сумма квадратов неотрицательна, неравенство доказано.

1. Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\). Для доказательства преобразуем выражение, выделяя полные квадраты. Сначала сгруппируем члены с переменной \(a\): \(a^2 + 6a\). Чтобы дополнить до квадрата, добавим и вычтем \(9\), так как \((a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9\). Теперь сгруппируем члены с переменной \(b\): \(b^2 — 4b\). Здесь добавим и вычтем \(4\), так как \((b — 2)^2 = b^2 — 4b + 4\). Таким образом, исходное выражение принимает вид: \(a^2 + 6a + 9 + b^2 — 4b + 4 + 13 — 9 — 4 = (a + 3)^2 + (b — 2)^2 + 0\).

Поскольку \((a + 3)^2 \geq 0\) и \((b — 2)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), их сумма также всегда неотрицательна: \((a + 3)^2 + (b — 2)^2 \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\) выполняется для всех \(a\) и \(b\). Неравенство доказано.

2. Рассмотрим неравенство \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\). Для доказательства выделим полные квадраты. Сначала сгруппируем члены с переменной \(x\): \(x^2 — 2x\). Дополним до квадрата, добавив и вычтя \(1\), так как \((x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\). Теперь сгруппируем члены с переменной \(y\): \(y^2 + 10y\). Дополним до квадрата, добавив и вычтя \(25\), так как \((y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25\). Таким образом, выражение становится: \(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 + 28 — 1 — 25 = (x — 1)^2 + (y + 5)^2 + 2\).

Поскольку \((x — 1)^2 \geq 0\) и \((y + 5)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(x\) и \(y\), их сумма с числом \(2\) всегда больше нуля: \((x — 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0\). Следовательно, исходное неравенство \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\) выполняется для всех \(x\) и \(y\). Неравенство доказано.

3. Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4a + 4b + 4c\). Для доказательства преобразуем выражение, выделяя полные квадраты. Сгруппируем члены для каждой переменной. Для \(a\): \(a^2 — 4a\), дополним до квадрата, добавив и вычтя \(4\), так как \((a — 2)^2 = a^2 — 4a + 4\). Аналогично для \(b\): \(b^2 — 4b\), дополним до \((b — 2)^2 = b^2 — 4b + 4\), и для \(c\): \(c^2 — 4c\), дополним до \((c — 2)^2 = c^2 — 4c + 4\). Тогда выражение принимает вид: \(a^2 — 4a + 4 + b^2 — 4b + 4 + c^2 — 4c + 4 + 12 — 12 = (a — 2)^2 + (b — 2)^2+\)
\( + (c — 2)^2 + 0\).

Поскольку \((a — 2)^2 \geq 0\), \((b — 2)^2 \geq 0\) и \((c — 2)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\), их сумма всегда неотрицательна: \((a — 2)^2 + (b — 2)^2 + (c — 2)^2 \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4a + 4b + 4c\) выполняется для всех \(a\), \(b\) и \(c\). Неравенство доказано.

4. Рассмотрим неравенство \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\). Для доказательства преобразуем выражение, выделяя полные квадраты. Сгруппируем члены: \(a^2 b^2 — 4ab + a^2 + b^2 + 1\). Заметим, что \(a^2 b^2 — 4ab + 1 + a^2 + b^2 = (a^2 b^2 — 2ab + 1) + (a^2 — 2ab + b^2) + 2ab — 2ab\). Перегруппируем как \(a^2 b^2 — 2ab + 1 + a^2 — 2ab + b^2 + 2ab — 2ab = (ab — 1)^2 + (a — b)^2\), так как \((ab — 1)^2 = a^2 b^2 — 2ab + 1\) и \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

Поскольку \((ab — 1)^2 \geq 0\) и \((a — b)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), их сумма всегда неотрицательна: \((ab — 1)^2 + (a — b)^2 \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\) выполняется для всех \(a\) и \(b\). Неравенство доказано.

5. Рассмотрим неравенство \(2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)\). Для доказательства преобразуем выражение, выделяя полные квадраты. Перепишем правую часть: \(2a(b + c) = 2ab + 2ac\). Тогда неравенство становится \(2a^2 + b^2 + c^2 — 2ab — 2ac \geq 0\). Разделим выражение на две группы: \(a^2 — 2ab + b^2 + a^2 — 2ac + c^2\). Заметим, что \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\) и \(a^2 — 2ac + c^2 = (a — c)^2\). Таким образом, выражение принимает вид: \((a — b)^2 + (a — c)^2\).

Поскольку \((a — b)^2 \geq 0\) и \((a — c)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\), их сумма всегда неотрицательна: \((a — b)^2 + (a — c)^2 \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство \(2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)\) выполняется для всех \(a\), \(b\) и \(c\). Неравенство доказано.