ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
1) \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 > 0\);
2) \(x^2 + y^2 + 10 > 6x — 2y\);
3) \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\);
4) \(a^2 + b^2 + c^2 \geq 2(a + b + c) — 3\).

Первое неравенство: переписываем выражение как \(a^2 — 16a + b^2 + 14b + 114\). Завершаем квадраты: \(a^2 — 16a = (a — 8)^2 — 64\), \(b^2 + 14b = (b + 7)^2 — 49\). Итог: \((a — 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\), что всегда верно, так как сумма квадратов и единицы положительна.

Второе неравенство: преобразуем \(x^2 + y^2 + 10 — 6x + 2y \geq 0\). Завершаем квадраты: \(x^2 — 6x = (x — 3)^2 — 9\), \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 — 1\). Итог: \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\), что всегда выполняется.

Третье неравенство: рассматриваем \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\). Группируем: \(c^2 + 4cd + 4d^2 = (c + 2d)^2\), а \(d^2 — 4d + 4 = (d — 2)^2\). Итог: \((c + 2d)^2 + (d — 2)^2 \geq 0\), что верно.

Четвертое неравенство: преобразуем \(a^2 + b^2 + c^2 — 2a — 2b — 2c + 3 \geq 0\). Завершаем квадраты: \(a^2 — 2a = (a — 1)^2 — 1\), аналогично для \(b\) и \(c\). Итог: \((a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 \geq 0\), что всегда выполняется.

1. Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 > 0\). Для доказательства преобразуем выражение, чтобы выделить полные квадраты. Начнем с переменной \(a\): \(a^2 — 16a\). Чтобы завершить квадрат, берем половину коэффициента при \(a\), то есть \(-16/2 = -8\), и возводим в квадрат: \((-8)^2 = 64\). Таким образом, \(a^2 — 16a = (a — 8)^2 — 64\).

Теперь перейдем к переменной \(b\): \(b^2 + 14b\). Половина коэффициента при \(b\) равна \(14/2 = 7\), и в квадрате это \(7^2 = 49\). Следовательно, \(b^2 + 14b = (b + 7)^2 — 49\).

Подставим эти выражения обратно в исходное неравенство: \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 = (a — 8)^2 — 64 + (b + 7)^2 — 49 + 114\). Сложим константы: \(-64 — 49 + 114 = 1\). Таким образом, выражение принимает вид \((a — 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\).

Поскольку \((a — 8)^2 \geq 0\) и \((b + 7)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), их сумма с единицей всегда больше нуля: \((a — 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\). Неравенство доказано.

2. Рассмотрим неравенство \(x^2 + y^2 + 10 \geq 6x — 2y\). Переместим все члены в одну сторону, чтобы получить вид, удобный для анализа: \(x^2 + y^2 + 10 — 6x + 2y \geq 0\).

Теперь завершим квадраты для \(x\) и \(y\). Для \(x^2 — 6x\): половина коэффициента при \(x\) равна \(-6/2 = -3\), в квадрате это \((-3)^2 = 9\). Таким образом, \(x^2 — 6x = (x — 3)^2 — 9\).

Для \(y^2 + 2y\): половина коэффициента при \(y\) равна \(2/2 = 1\), в квадрате это \(1^2 = 1\). Следовательно, \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 — 1\).

Подставим в выражение: \((x — 3)^2 — 9 + (y + 1)^2 — 1 + 10 \geq 0\). Сложим константы: \(-9 — 1 + 10 = 0\). Итог: \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\).

Сумма квадратов всегда неотрицательна, то есть \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\) для любых \(x\) и \(y\). Неравенство доказано.

3. Рассмотрим неравенство \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\). Для упрощения попробуем представить выражение как сумму квадратов. Заметим, что члены \(c^2 + 4cd + 4d^2\) можно записать как полный квадрат: \(c^2 + 4cd + 4d^2 = (c + 2d)^2\).

Остальные члены: \(5d^2 — 4d + 4 — 4d^2 = d^2 — 4d + 4\). Это тоже полный квадрат: \(d^2 — 4d + 4 = (d — 2)^2\).

Таким образом, исходное выражение принимает вид \((c + 2d)^2 + (d — 2)^2 \geq 0\). Поскольку оба слагаемых являются квадратами, их сумма всегда неотрицательна для любых действительных \(c\) и \(d\). Неравенство доказано.

4. Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \geq 2(a + b + c) — 3\). Переместим все члены в левую часть: \(a^2 + b^2 + c^2 — 2a — 2b — 2c + 3 \geq 0\).

Теперь завершим квадраты для каждой переменной. Для \(a^2 — 2a\): половина коэффициента при \(a\) равна \(-2/2 = -1\), в квадрате это \((-1)^2 = 1\). Таким образом, \(a^2 — 2a = (a — 1)^2 — 1\).

Аналогично для \(b^2 — 2b = (b — 1)^2 — 1\) и для \(c^2 — 2c = (c — 1)^2 — 1\). Подставим в выражение: \((a — 1)^2 — 1 + (b — 1)^2 — 1 + (c — 1)^2 — 1 + 3 \geq 0\).

Сложим константы: \(-1 — 1 — 1 + 3 = 0\). Итог: \((a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 \geq 0\).

Сумма квадратов всегда неотрицательна для любых действительных чисел \(a\), \(b\), \(c\). Неравенство доказано.