ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a \in [0; 1]\), то \(a > a^2\).

Докажем, что если \( a \in [0; 1] \), то \( a \geq a^2 \).

Рассмотрим выражение \( a^2 — a \). Его можно переписать как \( a(a — 1) \). Поскольку \( a \in [0; 1] \), то \( a — 1 \leq 0 \), а \( a \geq 0 \). Следовательно, произведение \( a(a — 1) \leq 0 \), что означает \( a^2 — a \leq 0 \), или \( a^2 \leq a \).

Таким образом, неравенство \( a \geq a^2 \) доказано для всех \( a \in [0; 1] \).

1. Докажем, что если \( a \in [0; 1] \), то \( a \geq a^2 \). Для этого рассмотрим данное неравенство и преобразуем его, чтобы показать его истинность на заданном интервале.

2. Начнем с переписывания неравенства \( a \geq a^2 \) в эквивалентный вид. Вычтем \( a^2 \) из обеих частей, что дает нам \( a — a^2 \geq 0 \). Это выражение можно факторизовать как \( a(1 — a) \geq 0 \), поскольку \( a — a^2 = a(1 — a) \).

3. Теперь проанализируем выражение \( a(1 — a) \geq 0 \). Мы знаем, что \( a \in [0; 1] \), а значит, \( a \geq 0 \), и \( 1 — a \geq 0 \), потому что \( a \leq 1 \). Таким образом, \( a \) неотрицательно, и \( 1 — a \) также неотрицательно на интервале \( [0; 1] \).

4. Рассмотрим произведение \( a(1 — a) \). Поскольку оба множителя \( a \) и \( 1 — a \) неотрицательны в заданном диапазоне, их произведение также будет неотрицательным, то есть \( a(1 — a) \geq 0 \). Это подтверждает, что неравенство \( a — a^2 \geq 0 \) выполняется для всех \( a \in [0; 1] \).

5. Проверим граничные значения, чтобы убедиться в правильности вывода. Если \( a = 0 \), то \( 0 \geq 0^2 \), что равно \( 0 \geq 0 \), и это истинно. Если \( a = 1 \), то \( 1 \geq 1^2 \), что равно \( 1 \geq 1 \), и это также истинно.

6. Рассмотрим также промежуточное значение, например, \( a = 0.5 \). Тогда \( 0.5 \geq (0.5)^2 \), что равно \( 0.5 \geq 0.25 \), и это очевидно истинно. Таким образом, на всех точках интервала \( [0; 1] \) неравенство сохраняется.

7. Альтернативный подход к доказательству заключается в рассмотрении функции \( f(a) = a — a^2 \). Найдем ее производную для анализа поведения функции: \( f'(a) = 1 — 2a \). Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 1 — 2a = 0 \), откуда \( a = \frac{1}{2} \).

8. Определим характер критической точки. Вторая производная \( f»(a) = -2 \), что меньше нуля, значит, в точке \( a = \frac{1}{2} \) функция имеет максимум. Значение функции в этой точке: \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} — \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4} > 0 \).

9. Поскольку максимальное значение функции \( f(a) = a — a^2 \) на интервале \( [0; 1] \) положительно, а на границах \( f(0) = 0 \) и \( f(1) = 0 \), то \( f(a) \geq 0 \) для всех \( a \in [0; 1] \), что подтверждает неравенство \( a \geq a^2 \).

10. Таким образом, мы доказали неравенство \( a \geq a^2 \) для всех \( a \in [0; 1] \) двумя способами: через алгебраическое преобразование и анализ произведения, а также через исследование поведения функции с помощью производных. Оба подхода показывают, что неравенство выполняется на заданном интервале.