ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a^3 + b^3 > a^2b + b^2a\).

Для доказательства неравенства, если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), то \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + b^2 a\), выполним следующие шаги.

Сначала преобразуем выражение \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a\). Это можно записать как \(a^2 (a — b) + b^2 (b — a) = a^2 (a — b) — b^2 (a — b) = (a^2 — b^2)(a — b)\).

Далее заметим, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), поэтому выражение принимает вид \((a — b)(a + b)(a — b) = (a + b)(a — b)^2\).

Поскольку \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), то \(a + b \geq 0\), а \((a — b)^2 \geq 0\). Следовательно, их произведение \((a + b)(a — b)^2 \geq 0\), что и доказывает неравенство \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + b^2 a\).

Для доказательства неравенства, если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), то \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + b^2 a\), рассмотрим пошаговое решение с детальным разбором каждого этапа.

1. Начнем с выражения, которое нужно доказать: \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + b^2 a\). Чтобы показать, что это неравенство выполняется, преобразуем левую часть относительно правой, то есть рассмотрим разность \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a\), и докажем, что она не меньше нуля.

2. Перегруппируем слагаемые в выражении \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a\). Можно записать это как \(a^3 — a^2 b + b^3 — b^2 a\). Теперь выделим общие множители: \(a^2 (a — b) + b^2 (b — a)\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому выражение становится \(a^2 (a — b) — b^2 (a — b)\).

3. Выносим общий множитель \((a — b)\) за скобки: \(a^2 (a — b) — b^2 (a — b) = (a^2 — b^2)(a — b)\). Таким образом, разность \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a\) сводится к \((a^2 — b^2)(a — b)\).

4. Вспомним, что \(a^2 — b^2\) можно разложить на множители по формуле разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставим это в наше выражение: \((a^2 — b^2)(a — b) = (a — b)(a + b)(a — b)\).

5. Теперь перепишем выражение, объединяя одинаковые множители: \((a — b)(a + b)(a — b) = (a + b)(a — b)^2\). Таким образом, мы получили, что \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a = (a + b)(a — b)^2\).

6. Проанализируем знак полученного выражения \((a + b)(a — b)^2\). Поскольку по условию \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), то сумма \(a + b \geq 0\). Если \(a = 0\) и \(b = 0\), то \(a + b = 0\), а в остальных случаях \(a + b > 0\).

7. Далее рассмотрим множитель \((a — b)^2\). Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \((a — b)^2 \geq 0\). Этот множитель равен нулю только при \(a = b\), а в остальных случаях он положителен.

8. Теперь умножим два множителя: \((a + b) \geq 0\) и \((a — b)^2 \geq 0\). Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, то есть \((a + b)(a — b)^2 \geq 0\). Это означает, что \(a^3 + b^3 — a^2 b — b^2 a \geq 0\).

9. Из последнего неравенства следует, что \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + b^2 a\), что и требовалось доказать. Мы показали, что разность между левой и правой частью неравенства всегда неотрицательна при заданных условиях.

10. Таким образом, неравенство доказано для всех \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\). Равенство достигается в случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть когда \(a = 0\), \(b = 0\) или \(a = b\).