ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a + \frac{b}{a} > \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{b^2a}\).

Для доказательства неравенства \(a^4 + b^4 \geq a^3b + b^3a\) преобразуем выражение.

Рассмотрим разность: \(a^4 + b^4 — a^3b — b^3a\). Перегруппируем слагаемые: \(a^4 — a^3b + b^4 — b^3a = a^3(a — b) + b^3(b — a)\).

Заметим, что \(b^3(b — a) = -b^3(a — b)\), поэтому выражение принимает вид: \(a^3(a — b) — b^3(a — b) = (a^3 — b^3)(a — b)\).

Используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), подставим: \((a — b)(a^2 + ab + b^2)(a — b) = (a — b)^2 (a^2 + ab + b^2)\).

Поскольку \((a — b)^2 \geq 0\) и \(a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \geq 0\), их произведение всегда неотрицательно.

Таким образом, \(a^4 + b^4 — a^3b — b^3a \geq 0\), что и требовалось доказать.

1. Для доказательства неравенства \(a^4 + b^4 \geq a^3 b + b^3 a\) начнем с рассмотрения разности между левой и правой частями выражения. Это позволит нам преобразовать неравенство в эквивалентную форму, которая может быть проще для анализа.

2. Запишем разность: \(a^4 + b^4 — a^3 b — b^3 a\). Наша цель — показать, что эта разность больше или равна нулю для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), что будет означать выполнение исходного неравенства.

3. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить общие множители. Рассмотрим выражение как сумму двух групп: \(a^4 — a^3 b + b^4 — b^3 a = a^3 (a — b) + b^3 (b — a)\). Здесь мы вынесли \(a^3\) из первых двух членов и \(b^3\) из последних двух.

4. Заметим, что \(b^3 (b — a) = -b^3 (a — b)\), так как \(b — a = -(a — b)\). Подставим это в наше выражение: \(a^3 (a — b) + (-b^3 (a — b)) = a^3 (a — b) — b^3 (a — b)\). Теперь у нас есть общий множитель \((a — b)\).

5. Вынесем общий множитель \((a — b)\) за скобки: \(a^3 (a — b) — b^3 (a — b) = (a^3 — b^3)(a — b)\). Таким образом, разность свелась к произведению двух выражений.

6. Вспомним формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Подставим это в наше выражение: \((a^3 — b^3)(a — b) = (a — b)(a^2 + ab + b^2)(a — b)\).

7. Перепишем это как \((a — b)^2 (a^2 + ab + b^2)\), поскольку \((a — b)(a — b) = (a — b)^2\). Теперь наше выражение полностью факторизовано, и мы можем проанализировать знаки множителей.

8. Рассмотрим множитель \((a — b)^2\). Очевидно, что квадрат разности всегда неотрицателен, то есть \((a — b)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(a\) и \(b\). Равенство нулю достигается только при \(a = b\).

9. Теперь рассмотрим множитель \(a^2 + ab + b^2\). Чтобы определить его знак, преобразуем это выражение: \(a^2 + ab + b^2 = a^2 + ab + \frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}\). Здесь \(\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 \geq 0\) и \(\frac{3b^2}{4} \geq 0\), следовательно, \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\). Равенство нулю достигается только при \(a = b = 0\).

10. Поскольку оба множителя \((a — b)^2 \geq 0\) и \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\), их произведение \((a — b)^2 (a^2 + ab + b^2) \geq 0\). Это означает, что \(a^4 + b^4 — a^3 b — b^3 a \geq 0\), или, другими словами, \(a^4 + b^4 \geq a^3 b + b^3 a\), что и требовалось доказать.