ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) если \(0 < a < b\), \(k > 0\), то \(\frac{b}{a} > \frac{b+k}{a+k}\);
2) если \(a > b > 0\), \(k > 0\), то \(\frac{a}{b} > \frac{a+k}{b+k}\).

Для первого неравенства: если \(0 < a < b\), \(k > 0\), то нужно доказать, что \(\frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k}\). Рассмотрим разность: \(\frac{a + k}{b + k} - \frac{a}{b} = \frac{(a + k)b - a(b + k)}{b(b + k)} = \frac{ab + bk - ab - ak}{b(b + k)} = \frac{k(b - a)}{b(b + k)}\). Поскольку \(b - a > 0\), \(k > 0\), \(b > 0\), \(b + k > 0\), то числитель и знаменатель положительны, значит разность больше 0. Неравенство доказано.

Для второго неравенства: если \(a \geq b > 0\), \(k > 0\), то нужно доказать, что \(\frac{a}{b} \geq \frac{a + k}{b + k}\).

Рассмотрим разность: \(\frac{a}{b} — \frac{a + k}{b + k} = \frac{a(b + k) — b(a + k)}{b(b + k)} = \frac{ab + ak — ab — bk}{b(b + k)} = \frac{k(a — b)}{b(b + k)}\). Поскольку \(a — b \geq 0\), \(k > 0\), \(b > 0\), \(b + k > 0\), то числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, значит разность больше или равна 0. Неравенство доказано.

1) Докажем, что если \(0 < a < b\), \(k > 0\), то \(\frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k}\). Для этого рассмотрим разность между правой и левой частью неравенства, чтобы показать, что она положительна. Это стандартный подход для доказательства неравенств с дробями. Начнем с выражения разности: \(\frac{a + k}{b + k} - \frac{a}{b}\). Чтобы вычесть эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который будет равен \(b(b + k)\). Тогда числитель разности примет вид \((a + k)b - a(b + k)\). Раскроем скобки: \((a + k)b = ab + bk\), а \(a(b + k) = ab + ak\). Теперь вычтем: \(ab + bk - (ab + ak) = ab + bk - ab - ak = bk - ak\). Упростим числитель: \(bk - ak = k(b - a)\). Таким образом, разность становится \(\frac{k(b - a)}{b(b + k)}\). Проанализируем знак этого выражения. Поскольку по условию \(k > 0\), а также \(0 < a < b\), то \(b - a > 0\). Кроме того, \(b > 0\) и \(b + k > 0\), так как \(k > 0\). Следовательно, числитель \(k(b — a) > 0\), а знаменатель \(b(b + k) > 0\), что означает, что вся дробь \(\frac{k(b — a)}{b(b + k)} > 0\).

Это доказывает, что \(\frac{a + k}{b + k} — \frac{a}{b} > 0\), а значит \(\frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k}\). Неравенство доказано. 2) Теперь докажем, что если \(a \geq b > 0\), \(k > 0\), то \(\frac{a}{b} \geq \frac{a + k}{b + k}\). Снова используем метод разности, чтобы показать, что левая часть не меньше правой.

Рассмотрим разность: \(\frac{a}{b} — \frac{a + k}{b + k}\). Приведем дроби к общему знаменателю \(b(b + k)\). Тогда числитель разности будет равен \(a(b + k) — b(a + k)\). Раскроем скобки: \(a(b + k) = ab + ak\), а \(b(a + k) = ab + bk\). Вычтем: \(ab + ak — (ab + bk) = ab + ak — ab — bk = ak — bk\).

Упростим числитель: \(ak — bk = k(a — b)\). Таким образом, разность равна \(\frac{k(a — b)}{b(b + k)}\). Проанализируем знак выражения. По условию \(k > 0\), \(b > 0\), \(b + k > 0\), поэтому знаменатель \(b(b + k) > 0\). Числитель \(k(a — b)\) зависит от знака \(a — b\). Поскольку \(a \geq b\), то \(a — b \geq 0\), а значит \(k(a — b) \geq 0\). Следовательно, вся дробь \(\frac{k(a — b)}{b(b + k)} \geq 0\).

Это доказывает, что \(\frac{a}{b} — \frac{a + k}{b + k} \geq 0\), а значит \(\frac{a}{b} \geq \frac{a + k}{b + k}\). Неравенство доказано.