ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях \(x\), \(y\) и \(z\) хотя бы одно из выражений \(x^2 + 2xy + z^2\), \(y^2 + 2yz + x^2\), \(z^2 + 2zx + y^2\) принимает неотрицательные значения.

Для доказательства того, что хотя бы одно из выражений \(x^2 + 2xy + z^2\), \(y^2 + 2yz + x^2\), \(z^2 + 2zx + y^2\) принимает неотрицательное значение при любых \(x, y, z\), рассмотрим их сумму.

Сумма выражений равна \((x^2 + 2xy + z^2) + (y^2 + 2yz + x^2) + (z^2 + 2zx + y^2) = 2x^2 + 2y^2 +\)
\(+ 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\).

Эта сумма может быть переписана как \((x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2\), что всегда неотрицательно, так как представляет собой сумму квадратов.

Поскольку сумма трех выражений неотрицательна, то хотя бы одно из них должно быть неотрицательным (иначе их сумма была бы отрицательной, что противоречит). Это и требовалось доказать.

1. Нам необходимо доказать, что при любых значениях переменных \(x\), \(y\) и \(z\) хотя бы одно из трех выражений \(x^2 + 2xy + z^2\), \(y^2 + 2yz + x^2\) или \(z^2 + 2zx + y^2\) принимает неотрицательное значение. Для этого мы используем метод доказательства от противного и анализ суммы данных выражений.

2. Предположим, что все три выражения одновременно отрицательны, то есть \(x^2 + 2xy + z^2 < 0\), \(y^2 + 2yz + x^2 < 0\) и \(z^2 + 2zx + y^2 < 0\). Если это так, то их сумма также должна быть отрицательной, так как сумма отрицательных чисел всегда отрицательна. 3. Вычислим сумму этих трех выражений: \((x^2 + 2xy + z^2) + (y^2 + 2yz + x^2) + (z^2 + 2zx + y^2)\). Сложим подобные слагаемые: коэффициенты при \(x^2\) составляют \(1 + 1 = 2\), при \(y^2\) — \(1 + 1 = 2\), при \(z^2\) — \(1 + 1 = 2\), а перекрестные члены дают \(2xy + 2yz + 2zx\). Таким образом, сумма равна \(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\). 4. Факторизуем эту сумму, вынося общий множитель 2: \(2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx)\). Теперь попытаемся представить выражение в скобках в виде суммы квадратов, чтобы показать его неотрицательность. 5. Заметим, что выражение \(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx\) можно переписать, если добавить и вычесть некоторые члены или рассмотреть его как часть суммы квадратов. Рассмотрим возможность представления суммы через квадраты попарных сумм: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), \((y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2\), \((z + x)^2 = z^2 + 2zx + x^2\). 6. Если сложить эти три квадрата, получим: \((x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2)+\) \( + (z^2 + 2zx + x^2) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\), что в точности совпадает с нашей суммой, вычисленной ранее. 7. Таким образом, сумма трех выражений равна \((x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2\), что является суммой квадратов действительных чисел. Сумма квадратов всегда неотрицательна, то есть \((x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 \geq 0\), и равна нулю только если \(x + y = 0\), \(y + z = 0\), \(z + x = 0\), что выполняется только при \(x = y = z = 0\). 8. Мы получили, что сумма трех выражений всегда неотрицательна: \((x^2 + 2xy + z^2) + (y^2 + 2yz + x^2) + (z^2 + 2zx + y^2) = (x + y)^2 +\) \(+ (y + z)^2 + (z + x)^2 \geq 0\). Это противоречит нашему предположению, что все три выражения отрицательны, так как их сумма не может быть отрицательной. 9. Следовательно, предположение о том, что все три выражения одновременно отрицательны, неверно. Это означает, что хотя бы одно из выражений \(x^2 + 2xy + z^2\), \(y^2 + 2yz + x^2\) или \(z^2 + 2zx + y^2\) должно быть неотрицательным при любых значениях \(x\), \(y\), \(z\). 10. Таким образом, мы доказали требуемое утверждение: при любых действительных значениях переменных хотя бы одно из данных выражений принимает неотрицательное значение. Доказательство завершено.