ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) если \(x \neq 1\) и \(y \neq 1\), то \(xy + 1 > x + y\);
2) если \(x > 1\) и \(y > 1\), то \(xy + 1 > x + y\).

Первое неравенство: для \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\) нужно доказать, что \(xy — x + 1 — y \geq 0\). Преобразуем выражение: \(xy — x + 1 — y = (x-1)(y-1) + 1 — 1 = (x-1)(y-1)\). Так как \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\), то \((x-1) \geq 0\) и \((y-1) \geq 0\), следовательно, их произведение \((x-1)(y-1) \geq 0\). Неравенство доказано.

Второе неравенство: для \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\) снова рассматриваем \(xy — x + 1 — y\). Аналогично предыдущему случаю, преобразуем: \(xy — x + 1 — y = (x-1)(y-1)\). Условия \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\) гарантируют, что \((x-1) \geq 0\) и \((y-1) \geq 0\), значит \((x-1)(y-1) \geq 0\). Неравенство доказано.

1) Рассмотрим первое неравенство для условий \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\). Нам нужно доказать, что выражение \(xy — x + 1 — y \geq 0\). Начнем с преобразования данного выражения, чтобы упростить его анализ.

Для этого перепишем \(xy — x + 1 — y\) следующим образом: \(xy — x — y + 1 = (x-1)(y-1)\). Это можно проверить, раскрывая скобки: \((x-1)(y-1) = xy — x — y + 1\), что совпадает с исходным выражением. Таким образом, нам нужно показать, что \((x-1)(y-1) \geq 0\).

Учитывая условия задачи, \(x \geq 1\), следовательно, \(x — 1 \geq 0\). Аналогично, \(y \geq 1\), значит \(y — 1 \geq 0\). Произведение двух неотрицательных чисел \((x-1)\) и \((y-1)\) всегда будет неотрицательным, то есть \((x-1)(y-1) \geq 0\). Это подтверждает, что \(xy — x + 1 — y \geq 0\).

Кроме того, можно рассмотреть выражение \(xy — x + 1 — y\) как функцию от двух переменных и проверить его минимальное значение при \(x = 1\) и \(y = 1\). Подставим: \(1 \cdot 1 — 1 + 1 — 1 = 0\), что удовлетворяет неравенству. При увеличении \(x\) или \(y\) значение выражения только растет, так как \((x-1)(y-1)\) увеличивается.

Таким образом, неравенство \(xy — x + 1 — y \geq 0\) доказано для всех \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\).

2) Перейдем ко второму неравенству, где также даны условия \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\), и требуется доказать, что \(xy — x + 1 — y \geq 0\). Заметим, что это то же самое выражение, что и в первом пункте, поэтому подход к решению будет аналогичным.

Преобразуем выражение \(xy — x + 1 — y\) в \((x-1)(y-1)\), как было сделано ранее. Раскрытие скобок подтверждает тождество: \((x-1)(y-1) = xy — x — y + 1\), что совпадает с исходным выражением.

Теперь анализируем \((x-1)(y-1)\). Поскольку \(x \geq 1\), то \(x — 1 \geq 0\), и поскольку \(y \geq 1\), то \(y — 1 \geq 0\). Следовательно, произведение \((x-1)(y-1) \geq 0\), так как умножение двух неотрицательных чисел дает неотрицательный результат.

Для дополнительной проверки подставим граничные значения \(x = 1\) и \(y = 1\): \(1 \cdot 1 — 1 + 1 — 1 = 0\), что удовлетворяет неравенству. Если взять, например, \(x = 2\) и \(y = 2\), то \(2 \cdot 2 — 2 + 1 — 2 = 1 > 0\), что также подтверждает неравенство.

Таким образом, неравенство \(xy — x + 1 — y \geq 0\) доказано для всех \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\).