ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y + \frac{|x — y|^2}{xy}\).

Для доказательства неравенства при \(x > 0\) и \(y > 0\), что \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\), рассмотрим пошаговое решение.

Сначала преобразуем левую часть: \(\frac{x^3 + y^3}{x + y}\). Используем формулу суммы кубов: \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Тогда \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} = x^2 — xy + y^2\).

Теперь сравним \(x^2 — xy + y^2\) с правой частью \(\frac{x^2 + y^2}{2}\). Вычислим разность: \(x^2 — xy + y^2 — \frac{x^2 + y^2}{2} = \frac{2x^2 — 2xy + 2y^2 — x^2 — y^2}{2} = \frac{x^2 — 2xy + y^2}{2} = \frac{(x — y)^2}{2}\).

Так как \((x — y)^2 \geq 0\) для любых \(x\) и \(y\), то \(\frac{(x — y)^2}{2} \geq 0\), что подтверждает неравенство \(x^2 — xy + y^2 \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\).

Таким образом, исходное неравенство доказано, поскольку левая часть больше или равна правой части.

Для доказательства неравенства при условии \(x > 0\) и \(y > 0\), что \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\), рассмотрим пошаговое решение с максимальной детализацией. Мы будем следовать логике, представленной в примере, и докажем неравенство через последовательные преобразования.

1. Начнем с левой части неравенства: \(\frac{x^3 + y^3}{x + y}\). Известно, что \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Подставим это выражение в числитель: \(\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{x + y}\). Так как \(x + y > 0\), можно сократить на \(x + y\), получая \(x^2 — xy + y^2\). Таким образом, левая часть преобразуется в \(x^2 — xy + y^2\).

2. Теперь рассмотрим правую часть неравенства: \(\frac{x^2 + y^2}{2}\). Наша цель — показать, что \(x^2 — xy + y^2 \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\). Для этого вычислим разность между левой и правой частями: \(x^2 — xy + y^2 — \frac{x^2 + y^2}{2}\).

3. Приведем разность к общему знаменателю: \(x^2 — xy + y^2 — \frac{x^2}{2} — \frac{y^2}{2} = \frac{2x^2 — 2xy + 2y^2 — x^2 — y^2}{2} = \frac{(2x^2 — x^2) + (2y^2 — y^2) — 2xy}{2} =\)
\(= \frac{x^2 + y^2 — 2xy}{2}\).

4. Заметим, что числитель \(x^2 + y^2 — 2xy\) можно представить как \((x — y)^2\), поскольку \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Таким образом, разность принимает вид \(\frac{(x — y)^2}{2}\).

5. Так как \((x — y)^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(x\) и \(y\) (квадрат всегда неотрицателен), то и \(\frac{(x — y)^2}{2} \geq 0\). Это означает, что \(x^2 — xy + y^2 \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\), что подтверждает исходное неравенство.

6. Перейдем к альтернативному пути доказательства через промежуточные неравенства. Рассмотрим выражение \(2(x^3 + y^3) \geq (x + y)(x^2 + y^2)\). Раскроем правую часть: \((x + y)(x^2 + y^2) = x^3 + xy^2 + x^2 y + y^3\).

7. Теперь левая часть: \(2(x^3 + y^3) = 2x^3 + 2y^3\). Сравним с правой частью: \(2x^3 + 2y^3 — (x^3 + xy^2 + x^2 y + y^3) = x^3 + y^3 — xy^2 — x^2 y = x^3 -\)
\(- x^2 y — xy^2 + y^3\).

8. Преобразуем выражение \(x^3 — x^2 y — xy^2 + y^3 = x^2(x — y) — y^2(x — y) = (x^2 — y^2)(x — y)\). Далее, \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), поэтому \((x^2 — y^2)(x — y) = (x — y)(x + y)(x — y) = (x — y)^2 (x + y)\).

9. Поскольку \((x — y)^2 \geq 0\) и \(x + y > 0\) (по условию \(x > 0\), \(y > 0\)), то \((x — y)^2 (x + y) \geq 0\). Это подтверждает, что \(2(x^3 + y^3) \geq (x + y)(x^2 + y^2)\), что эквивалентно исходному неравенству после деления обеих частей на \(2(x + y)\).

10. Таким образом, неравенство доказано двумя способами: через прямое сравнение и через промежуточные выражения. Оба подхода показывают, что \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} \geq \frac{x^2 + y^2}{2}\) при \(x > 0\) и \(y > 0\).