ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \((2a — 5)^2 \leq 6a^2 — 20a + 25\);

2) \(a^2 + 4 > 4a\)

1) \((2a — 5)^2 < 60a^2 — 20a + 25\); \(4a^2 — 20a + 25 < 6a^2 — 20a + 25\); \(0 < 2a^2\); \(a^2 > 0\); Неравенство доказано.

2) \(a^2 + 4 > 4a\); \(a^2 — 4a + 4 > 0\); \((a-2)^2 > 0\); Неравенство доказано.

1) Рассмотрим неравенство \((2a — 5)^2 < 60a^2 — 20a + 25\). Первым шагом раскроем левую часть неравенства. Возведем выражение в квадрат: \((2a — 5)^2 = 4a^2 — 20a + 25\). Теперь наше неравенство принимает вид: \(4a^2 — 20a + 25 < 60a^2 — 20a + 25\).

Следующим шагом перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести неравенство к более простому виду. Вычтем из обеих сторон выражение \(4a^2 — 20a + 25\): \(4a^2 — 20a + 25 — (4a^2 — 20a + 25) < 60a^2 — 20a + 25 — (4a^2 — 20a + 25)\). Упростим: \(0 < (60a^2 — 20a + 25) — (4a^2 — 20a + 25)\), что равно \(0 < 56a^2\).

Далее делим обе части неравенства на 28, чтобы упростить коэффициент при \(a^2\): \(0 < 2a^2\). Это эквивалентно \(2a^2 > 0\), а после деления на 2 получаем \(a^2 > 0\). Данное неравенство выполняется для всех \(a \neq 0\), так как квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Таким образом, неравенство доказано для всех \(a \neq 0\).

2) Рассмотрим неравенство \(a^2 + 4 > 4a\). Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к стандартному виду: \(a^2 + 4 — 4a > 0\). Перепишем выражение как \(a^2 — 4a + 4 > 0\).

Теперь заметим, что левая часть является полным квадратом: \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \((a — 2)^2 > 0\). Квадрат любого выражения \((a — 2)^2\) всегда больше или равен нулю, причем равенство достигается только при \(a — 2 = 0\), то есть при \(a = 2\). Следовательно, \((a — 2)^2 > 0\) выполняется для всех \(a \neq 2\).

Таким образом, исходное неравенство \(a^2 + 4 > 4a\) выполняется для всех значений \(a\), кроме \(a = 2\), где оно превращается в равенство. Неравенство доказано.