ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} > a^n b + b^n a\), где \(n\) — нечётное натуральное число.

Для доказательства неравенства \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\), где \(n\) — нечётное натуральное число, рассмотрим следующее.

Сначала преобразуем выражение: \(a^{n+1} + b^{n+1} — a^n b — b^n a = a^n (a — b) + b^n (b — a) = (a^n — b^n)(a — b)\).

Так как \(n\) нечётное, функция \(x^n\) монотонно возрастает, и если \(a \geq b\), то \(a^n \geq b^n\), а если \(a < b\), то \(a^n < b^n\). Следовательно, знак \((a^n — b^n)\) совпадает со знаком \((a — b)\), и произведение \((a^n — b^n)(a — b) \geq 0\).

Таким образом, \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\), что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\), где \(n\) — нечётное натуральное число, рассмотрим пошаговое решение с полной детализацией.

1. Начнём с преобразования левой и правой частей неравенства. Запишем разность между левой и правой частями: \(a^{n+1} + b^{n+1} — a^n b — b^n a\). Наша цель — показать, что эта разность больше или равна нулю.

2. Перегруппируем выражение, чтобы выделить общие множители: \(a^{n+1} — a^n b + b^{n+1} — b^n a = a^n (a — b) + b^n (b — a)\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому выражение можно переписать как \(a^n (a — b) — b^n (a — b) = (a^n — b^n)(a — b)\).

3. Теперь рассмотрим полученное выражение \((a^n — b^n)(a — b)\). Нам нужно определить знак этого произведения. Для этого важно учесть, что \(n\) — нечётное натуральное число, а значит, функция \(x^n\) является строго возрастающей на всей числовой прямой.

4. Разберём случаи в зависимости от соотношения между \(a\) и \(b\). Если \(a > b\), то, поскольку \(n\) нечётное, \(a^n > b^n\), и \((a^n — b^n) > 0\), а также \((a — b) > 0\). Следовательно, произведение \((a^n — b^n)(a — b) > 0\).

5. Если \(a < b\), то, опять же, из-за нечётности \(n\), \(a^n < b^n\), и \((a^n — b^n) < 0\), а также \((a — b) < 0\). Произведение двух отрицательных чисел даёт положительное значение, то есть \((a^n — b^n)(a — b) > 0\).

6. Если \(a = b\), то \(a^n = b^n\), и \((a^n — b^n) = 0\), а также \((a — b) = 0\). В этом случае произведение \((a^n — b^n)(a — b) = 0\), что удовлетворяет условию неравенства (\(\geq 0\)).

7. Таким образом, во всех возможных случаях — когда \(a > b\), \(a < b\) или \(a = b\) — выражение \((a^n — b^n)(a — b) \geq 0\). Это означает, что \(a^{n+1} + b^{n+1} — a^n b — b^n a \geq 0\), или, что то же самое, \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\).

8. Дополнительно отметим, что нечётность \(n\) играет ключевую роль. Если бы \(n\) было чётным, то функция \(x^n\) не была бы строго возрастающей на отрицательных числах, и знак \((a^n — b^n)\) не всегда совпадал бы со знаком \((a — b)\), что могло бы нарушить неравенство.

9. Итак, мы показали, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) и нечётного натурального числа \(n\) выполняется неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\). Равенство достигается только при \(a = b\).

10. Это завершает доказательство. Неравенство доказано для всех указанных условий, и результат соответствует требуемому утверждению.