ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для \(a > 0\), \(b > 0\) докажите неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} > a^n b + b^n a\), где \(n\) — чётное натуральное число.

Для \(a > 0\), \(b > 0\) и чётного натурального числа \(n\) докажем неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\).

Перепишем неравенство как \(a^{n+1} — a^n b + b^{n+1} — b^n a \geq 0\). Факторизуем выражение: \(a^n (a — b) + b^n (b — a) = (a^n — b^n)(a — b)\).

Поскольку \(n\) чётное, \(a^n — b^n = (a — b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})\), и выражение становится \((a — b)^2 (a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})\). Так как \(a > 0\), \(b > 0\), то сумма в скобках положительна, а \((a — b)^2 \geq 0\), следовательно, всё выражение неотрицательно.

Если \(a \geq b > 0\), то \(a^n \geq b^n\), и неравенство очевидно. Если \(0 < a < b\), то \(a^n < b^n\), но анализ показывает, что неравенство всё равно выполняется за счёт структуры выражения.

Таким образом, неравенство доказано.

Для \(a > 0\), \(b > 0\) и чётного натурального числа \(n\) требуется доказать неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\). Разберём решение пошагово, следуя логике из условия.

Рассмотрим исходное неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\). Перепишем его в виде \(a^{n+1} + b^{n+1} — a^n b — b^n a \geq 0\). Сгруппируем слагаемые: \(a^{n+1} — a^n b + b^{n+1} — b^n a = a^n (a — b) + b^n (b — a)\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому выражение принимает вид: \(a^n (a — b) — b^n (a — b) = (a^n — b^n)(a — b)\).

Теперь учтём, что \(n\) — чётное число. Разложим разность \(a^n — b^n\). Поскольку \(n\) чётное, выражение \(a^n — b^n = (a — b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + a b^{n-2} + b^{n-1})\). Таким образом, наше неравенство становится: \((a — b)(a — b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})=\)
\( = (a — b)^2 (a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})\).

Проанализируем это выражение. Поскольку \(a > 0\), \(b > 0\), сумма \(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}\) состоит из положительных слагаемых, а значит, она больше нуля. Также \((a — b)^2 \geq 0\) для любых действительных \(a\) и \(b\), так как квадрат всегда неотрицателен. Следовательно, произведение \((a — b)^2 (a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) \geq 0\), что подтверждает исходное неравенство.

Рассмотрим случай 1): если \(a \geq b > 0\), то \(a — b \geq 0\), и, поскольку \(n\) чётное, \(a^n \geq b^n\). Это означает, что \(a^{n+1} = a \cdot a^n \geq a \cdot b^n = a b^n\), и аналогично \(b^{n+1} = b \cdot b^n \geq b \cdot a^n = b a^n\). Суммируя, получаем \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a b^n + b a^n\), что совпадает с требуемым неравенством.

Рассмотрим случай 2): если \(0 < a < b\), то \(a — b < 0\), и, поскольку \(n\) чётное, \(a^n < b^n\). Однако в выражении \((a — b)^2 (a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})\) квадрат \((a — b)^2\) остаётся положительным, а сумма в скобках также положительна, так как \(a, b > 0\). Следовательно, всё выражение остаётся неотрицательным, и неравенство выполняется.

Таким образом, мы доказали, что для любых \(a > 0\), \(b > 0\) и чётного \(n\) выполняется неравенство \(a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a\), что и требовалось показать.