ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при \(b > 0\) выполняется неравенство \(3\sqrt{a} — 2\sqrt{b} \leq a^2 + b^2\).

Для доказательства неравенства при \( b > 0 \) рассмотрим выражение \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}(a^2 + b^2) \). Это очевидно, так как \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}(a^2 + b^2) \) всегда выполняется.

Далее, преобразуем неравенство \( 2a^3 \geq 2a(a^2 + b^2) — b(a^2 + b^2) \). Упростим правую часть: \( 2a(a^2 + b^2) — b(a^2 + b^2) = 2a^3 + 2ab^2 — a^2 b — b^3 \). Таким образом, неравенство сводится к \( 2a^3 \geq 2a^3 + 2ab^2 — a^2 b — b^3 \), что эквивалентно \( 0 \geq 2ab^2 — a^2 b — b^3 \).

Перепишем последнее: \( b^3 + a^2 b — 2ab^2 \geq 0 \), или \( b(b^2 + a^2 — 2ab) = b(a — b)^2 \geq 0 \). Поскольку \( b > 0 \), а \( (a — b)^2 \geq 0 \), то произведение всегда неотрицательно.

Таким образом, неравенство доказано.

Для доказательства неравенства при условии \( b > 0 \) рассмотрим пошагово каждое преобразование, следуя логике из условия. Мы будем доказывать, что выражения, указанные в условии, приводят к верному неравенству.

1. Начнем с неравенства \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}(a^2 + b^2) \). Это утверждение очевидно, поскольку \( a^2 + b^2 \) всегда больше или равно половине самого себя, так как \( a^2 + b^2 \geq 0 \), и умножение на \( \frac{1}{2} \) уменьшает значение, но не нарушает неравенство.

2. Далее рассмотрим выражение \( 2a^3 \geq 2a(a^2 + b^2) — b(a^2 + b^2) \). Раскроем правую часть: \( 2a(a^2 + b^2) = 2a^3 + 2ab^2 \), а \( -b(a^2 + b^2) = -a^2 b — b^3 \). Таким образом, правая часть принимает вид \( 2a^3 + 2ab^2 — a^2 b — b^3 \).

3. Теперь неравенство \( 2a^3 \geq 2a^3 + 2ab^2 — a^2 b — b^3 \) можно упростить, вычтя \( 2a^3 \) из обеих частей: \( 0 \geq 2ab^2 — a^2 b — b^3 \). Это эквивалентно \( b^3 + a^2 b — 2ab^2 \geq 0 \), если перенести все члены в левую часть с обратным знаком.

4. Преобразуем выражение \( b^3 + a^2 b — 2ab^2 \). Выносим \( b \) за скобки: \( b(b^2 + a^2 — 2ab) \). Внутри скобок можно заметить, что \( b^2 — 2ab + a^2 = (b — a)^2 \), так как это квадрат разности.

5. Таким образом, выражение принимает вид \( b(b — a)^2 \geq 0 \). Поскольку \( b > 0 \) по условию, а \( (b — a)^2 \geq 0 \) для любых действительных чисел \( a \) и \( b \), то произведение \( b \cdot (b — a)^2 \) всегда неотрицательно.

6. Рассмотрим промежуточное выражение \( b^2(b — a) — ab(b — a) \geq 0 \). Выносим общий множитель \( (b — a) \): \( (b — a)(b^2 — ab) \geq 0 \). Здесь \( b^2 — ab = b(b — a) \), так что выражение становится \( (b — a) \cdot b \cdot (b — a) = b(b — a)^2 \geq 0 \), что совпадает с предыдущим шагом.

7. Итоговое выражение \( b(b — a)^2 \geq 0 \) подтверждает неравенство. Учитывая, что \( b > 0 \), а квадрат разности всегда неотрицателен, неравенство выполняется для всех действительных \( a \) и \( b > 0 \).

8. Таким образом, каждое преобразование подтверждает, что исходное неравенство справедливо. Мы последовательно упрощали выражения, сводя их к очевидным утверждениям.

9. Дополнительно отметим, что в процессе преобразований не было допущено деления на ноль или других операций, которые могли бы нарушить область определения, так как \( b > 0 \).

10. В заключение, неравенство доказано через последовательные алгебраические преобразования, каждое из которых сохраняет истинность утверждения.