ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) выполняется неравенство \(\frac{a}{b} + 2a + \frac{a + 2b}{b}\).

Доказательство неравенства \(\frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} \le \frac{2}{3}\) при \(a > 0\) и \(b > 0\) начинается с умножения обеих частей на общий знаменатель \(3(b+2a)(a+2b)\). Это допустимо, так как \(a > 0\) и \(b > 0\), следовательно, знаменатель положителен.

После умножения получаем: \(3a(a+2b) + 3b(b+2a) \le 2(b+2a)(a+2b)\).

Раскрывая скобки в обеих частях неравенства, имеем: \(3a^2 + 6ab + 3b^2 + 6ab \le 2(ab + 2b^2 + 2a^2 + 4ab)\).

Упрощая выражения, получаем: \(3a^2 + 3b^2 + 12ab \le 4a^2 + 4b^2 + 10ab\).

Перенося все члены в одну сторону, чтобы правая часть стала равна нулю, получаем: \(0 \le 4a^2 + 4b^2 + 10ab — 3a^2 — 3b^2 — 12ab\).

Дальнейшее упрощение приводит к неравенству: \(0 \le a^2 — 2ab + b^2\).

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности: \((a-b)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \((a-b)^2 \ge 0\).

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, неравенство \((a-b)^2 \ge 0\) является истинным для любых действительных значений \(a\) и \(b\), включая положительные значения, заданные в условии. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Задача состоит в том, чтобы доказать неравенство \(\frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} \le \frac{2}{3}\) при условии, что \(a\) и \(b\) являются строго положительными действительными числами, то есть \(a > 0\) и \(b > 0\). Первым шагом в решении подобных неравенств является избавление от дробей, что достигается умножением всех членов на общий знаменатель. В данном случае наименьшим общим знаменателем для \((b+2a)\), \((a+2b)\) и \(3\) является произведение \(3(b+2a)(a+2b)\). Важно отметить, что поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), выражения \(b+2a\) и \(a+2b\) всегда положительны. Следовательно, их произведение \((b+2a)(a+2b)\) также положительно, и умножение на \(3\) сохраняет этот положительный знак. Таким образом, умножение всего неравенства на \(3(b+2a)(a+2b)\) не требует изменения знака неравенства. Применяя это умножение к каждому члену, получаем: для первого члена \(\frac{a}{b+2a}\) множитель \((b+2a)\) сокращается, оставляя \(3a(a+2b)\); для второго члена \(\frac{b}{a+2b}\) множитель \((a+2b)\) сокращается, оставляя \(3b(b+2a)\); а для правой части \(\frac{2}{3}\) множитель \(3\) сокращается, оставляя \(2(b+2a)(a+2b)\). В результате исходное неравенство преобразуется в эквивалентную полиномиальную форму: \(3a(a+2b) + 3b(b+2a) \le 2(b+2a)(a+2b)\).

Следующий этап включает раскрытие всех скобок путем применения дистрибутивного свойства умножения. На левой стороне неравенства, первый член \(3a(a+2b)\) раскрывается как \(3a \cdot a + 3a \cdot 2b\), что дает \(3a^2 + 6ab\). Второй член \(3b(b+2a)\) раскрывается как \(3b \cdot b + 3b \cdot 2a\), что приводит к \(3b^2 + 6ab\). Суммируя эти два выражения, левая часть неравенства принимает вид \(3a^2 + 6ab + 3b^2 + 6ab\). Объединяя подобные члены \(ab\), получаем \(3a^2 + 3b^2 + 12ab\). Теперь рассмотрим правую часть неравенства: \(2(b+2a)(a+2b)\). Сначала перемножим две скобки \((b+2a)\) и \((a+2b)\). Используя правило «фонтанчика» или попарного умножения, получаем: \(b \cdot a + b \cdot 2b + 2a \cdot a + 2a \cdot 2b\). Это упрощается до \(ab + 2b^2 + 2a^2 + 4ab\). Объединяя подобные члены \(ab\), имеем \(2a^2 + 2b^2 + 5ab\). Затем умножаем это выражение на \(2\), что дает \(2(2a^2 + 2b^2 + 5ab) = 4a^2 + 4b^2 + 10ab\). Таким образом, после раскрытия всех скобок, неравенство принимает промежуточный вид: \(3a^2 + 3b^2 + 12ab \le 4a^2 + 4b^2 + 10ab\).

Финальный шаг доказательства заключается в приведении всех членов неравенства к одной стороне, чтобы получить выражение, которое легко проверить на истинность. Перенесем все члены из левой части в правую, изменив их знаки на противоположные. Это приводит к следующему выражению: \(0 \le 4a^2 + 4b^2 + 10ab — 3a^2 — 3b^2 — 12ab\). Теперь необходимо сгруппировать и привести подобные члены на правой стороне. Для членов с \(a^2\): \(4a^2 — 3a^2 = a^2\). Для членов с \(b^2\): \(4b^2 — 3b^2 = b^2\). Для членов с \(ab\): \(10ab — 12ab = -2ab\). В результате этих упрощений, неравенство принимает форму: \(0 \le a^2 — 2ab + b^2\). Это выражение является хорошо известной алгебраической формулой для полного квадрата разности: \((a-b)^2\). Следовательно, неравенство можно переписать как \((a-b)^2 \ge 0\). Это утверждение является истинным для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), поскольку квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда неотрицателен. Например, если \(a=b\), то \((a-b)^2 = 0^2 = 0\). Если \(a \ne b\), то \((a-b)\) будет ненулевым числом, и его квадрат будет строго положительным. Поскольку все выполненные преобразования были алгебраически корректными и не изменяли направление неравенства (благодаря условиям \(a > 0\) и \(b > 0\)), окончательное неравенство \((a-b)^2 \ge 0\) подтверждает истинность исходного неравенства \(\frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} \le \frac{2}{3}\) для всех заданных положительных значений \(a\) и \(b\).