ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), то \(\frac{2x^2 + y^2}{(x + 1)(x + y)^2} > 0\).

Доказательство начинается с исходного неравенства: \(\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}\).

Умножим обе части неравенства на \(xy(x+y)\). Поскольку \(x > 0\) и \(y > 0\), произведение \(xy(x+y)\) положительно, и знак неравенства не меняется:
\(a^2y(x+y) + b^2x(x+y) \ge xy(a+b)^2\)

Раскроем скобки и упростим выражение:
\(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge xy(a^2 + 2ab + b^2)\)
\(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge a^2xy + 2abxy + b^2xy\)

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
\(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy — a^2xy — 2abxy — b^2xy \ge 0\)

Сократим подобные члены:
\(a^2y^2 — 2abxy + b^2x^2 \ge 0\)

Левая часть неравенства является полным квадратом:
\((ay — bx)^2 \ge 0\)

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, неравенство \((ay — bx)^2 \ge 0\) является истинным. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Доказательство того, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}\).

Изначально дано неравенство:
\(\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}\)

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель \(xy(x+y)\). Поскольку по условию \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(x+y > 0\), и, следовательно, \(xy(x+y)\) является положительным числом. Умножение на положительное число не меняет знак неравенства.
\(\frac{a^2}{x} \cdot xy(x+y) + \frac{b^2}{y} \cdot xy(x+y) \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} \cdot xy(x+y)\)
После умножения получаем:
\(a^2y(x+y) + b^2x(x+y) \ge xy(a+b)^2\)

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\(a^2y(x+y) + b^2x(x+y) \ge xy(a^2 + 2ab + b^2)\)

Теперь раскроем все скобки в обеих частях неравенства:
В левой части:
\(a^2y \cdot x + a^2y \cdot y = a^2xy + a^2y^2\)
\(b^2x \cdot x + b^2x \cdot y = b^2x^2 + b^2xy\)
Суммируя эти выражения, получаем левую часть: \(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy\).
В правой части:
\(xy \cdot a^2 + xy \cdot 2ab + xy \cdot b^2 = a^2xy + 2abxy + b^2xy\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy \ge a^2xy + 2abxy + b^2xy\)

Перенесем все члены из правой части неравенства в левую часть, изменив их знаки.
\(a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy — a^2xy — 2abxy — b^2xy \ge 0\)

Теперь сгруппируем и сократим подобные члены. Заметим, что \(a^2xy\) и \(b^2xy\) присутствуют в обеих частях с одинаковыми знаками, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе:
\(a^2y^2 + b^2x^2 — 2abxy \ge 0\)

Переставим члены в левой части для удобства, чтобы увидеть формулу квадрата разности:
\(a^2y^2 — 2abxy + b^2x^2 \ge 0\)

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности двух выражений. Это соответствует формуле \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\), где \(A = ay\) и \(B = bx\).
Таким образом, выражение \(a^2y^2 — 2abxy + b^2x^2\) можно записать как \((ay — bx)^2\).
Неравенство принимает окончательный вид:
\((ay — bx)^2 \ge 0\)

Известно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение \((ay — bx)\) является действительным числом, поэтому его квадрат \((ay — bx)^2\) всегда будет больше или равен нулю.
Следовательно, неравенство \((ay — bx)^2 \ge 0\) всегда истинно.
Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство также является истинным при заданных условиях \(x > 0\) и \(y > 0\).
Неравенство доказано.