ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\). Докажите, что \(\frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \geq \frac{2}{1 + xy}\).

Известно, что \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\). Докажем неравенство: \(\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \le \frac{2}{1+xy}\).

Умножим обе части неравенства на \((1+x^2)(1+y^2)(1+xy)\), что является положительным числом, так как \(x, y \in [0; 1]\):
\((1+y^2)(1+xy) + (1+x^2)(1+xy) \le 2(1+x^2)(1+y^2)\).

Вынесем общий множитель \((1+xy)\) в левой части:
\((1+xy)(1+y^2+1+x^2) \le 2(1+x^2+y^2+x^2y^2)\).
\((1+xy)(2+x^2+y^2) \le 2(1+x^2+y^2+x^2y^2)\).

Раскроем скобки в обеих частях:
\(2+x^2+y^2+2xy+x^3y+xy^3 \le 2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\).

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
\(x^3y — x^2 + xy^3 — y^2 + 2xy — 2x^2y^2 \le 0\).

Сгруппируем и вынесем общие множители:
\(x^2(xy-1) + y^2(xy-1) — 2xy(xy-1) \le 0\).

Вынесем общий множитель \((xy-1)\):
\((x^2+y^2-2xy)(xy-1) \le 0\).

Заметим, что выражение в первых скобках является полным квадратом:
\((x-y)^2(xy-1) \le 0\).

Поскольку \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), то \((x-y)^2 \ge 0\).
Также, поскольку \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), произведение \(xy\) находится в диапазоне \([0; 1]\). Следовательно, \(xy-1 \le 0\).
Произведение неотрицательного числа \((x-y)^2\) и неположительного числа \((xy-1)\) всегда будет неположительным.
Таким образом, \((x-y)^2(xy-1) \le 0\) всегда выполняется.
Неравенство доказано.

Известно, что \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\). Требуется доказать неравенство: \(\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \le \frac{2}{1+xy}\).

1. Первым шагом для преобразования данного неравенства является избавление от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на общий знаменатель, который равен произведению всех знаменателей: \((1+x^2)(1+y^2)(1+xy)\). Поскольку \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), все множители \((1+x^2)\), \((1+y^2)\) и \((1+xy)\) являются положительными числами (они не меньше 1). Следовательно, умножение на это выражение не изменит знак неравенства.
После умножения получаем:
\((1+y^2)(1+xy) + (1+x^2)(1+xy) \le 2(1+x^2)(1+y^2)\).

2. На следующем этапе упростим левую часть неравенства, вынеся общий множитель \((1+xy)\) за скобки:
\((1+xy) \left[ (1+y^2) + (1+x^2) \right] \le 2(1+x^2)(1+y^2)\).
Упростим выражение в квадратных скобках:
\((1+xy)(2+x^2+y^2) \le 2(1+x^2)(1+y^2)\).
Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: \(1 \cdot (2+x^2+y^2) + xy \cdot (2+x^2+y^2) = 2+x^2+y^2+2xy+x^3y+xy^3\).
Правая часть: \(2(1 \cdot (1+y^2) + x^2 \cdot (1+y^2)) = 2(1+y^2+x^2+x^2y^2) =\)
\(= 2+2y^2+2x^2+2x^2y^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(2+x^2+y^2+2xy+x^3y+xy^3 \le 2+2y^2+2x^2+2x^2y^2\).

3. Перенесем все члены из правой части неравенства в левую часть, чтобы получить выражение, которое должно быть меньше или равно нулю:
\((2+x^2+y^2+2xy+x^3y+xy^3) — (2+2y^2+2x^2+2x^2y^2) \le 0\).
Сгруппируем и приведем подобные члены:
\((2-2) + (x^2-2x^2) + (y^2-2y^2) + 2xy + x^3y + xy^3 — 2x^2y^2 \le 0\).
Это упрощается до:
\(-x^2 — y^2 + 2xy + x^3y + xy^3 — 2x^2y^2 \le 0\).
Для удобства дальнейших преобразований переставим члены в соответствии с примером:
\(x^3y — x^2 + xy^3 — y^2 + 2xy — 2x^2y^2 \le 0\).

4. Теперь выполним группировку членов для дальнейшего разложения на множители. Заметим, что можно выделить общий множитель \((xy-1)\) из различных пар членов.
Сгруппируем члены следующим образом:
\((x^3y — x^2) + (xy^3 — y^2) + (2xy — 2x^2y^2) \le 0\).
Вынесем общие множители из каждой группы:
Из первой группы \(x^2(xy-1)\).
Из второй группы \(y^2(xy-1)\).
Из третьей группы \(-2xy(xy-1)\) (или \(2xy(1-xy)\), но для получения \((xy-1)\) удобнее вынести \(-2xy\)).
Таким образом, неравенство преобразуется к виду:
\(x^2(xy-1) + y^2(xy-1) — 2xy(xy-1) \le 0\).

5. Теперь мы видим, что выражение \((xy-1)\) является общим множителем для всех трех членов в левой части. Вынесем его за скобки:
\((xy-1) [x^2 + y^2 — 2xy] \le 0\).

6. Выражение в квадратных скобках, \(x^2 + y^2 — 2xy\), является формулой квадрата разности. Оно может быть записано как \((x-y)^2\).
Подставим это обратно в неравенство:
\((xy-1)(x-y)^2 \le 0\).

7. Наконец, проанализируем знаки каждого множителя, используя исходные условия \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\).
* Множитель \((x-y)^2\): Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, \((x-y)^2 \ge 0\).
* Множитель \((xy-1)\): Поскольку \(x\) и \(y\) находятся в диапазоне от 0 до 1 включительно, их произведение \(xy\) также будет находиться в диапазоне от 0 до 1 включительно (\(0 \le xy \le 1\)). Из этого следует, что \(xy-1\) будет находиться в диапазоне от \((0-1)\) до \((1-1)\), то есть от \(-1\) до 0. Следовательно, \((xy-1) \le 0\).

8. Таким образом, мы имеем произведение двух множителей: один из которых неотрицателен \(((x-y)^2 \ge 0)\), а другой неположителен \(((xy-1) \le 0)\). Произведение неотрицательного числа на неположительное число всегда является неположительным числом (меньше или равно нулю).
Следовательно, неравенство \((xy-1)(x-y)^2 \le 0\) всегда выполняется при заданных условиях.
Неравенство доказано.