ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^8 + a^6 — 4a^4 + a^2 + 1 > 0\).

Исходное неравенство, которое требуется доказать, имеет вид \(a^8 + a^6 — 4a^4 + a^2 + 1 \ge 0\).

Первым шагом преобразуем исходное выражение, группируя члены таким образом: \((a^8 — 2a^4 + 1) + (a^6 — 2a^4 + a^2) \ge 0\). Это позволяет выделить полные квадраты.

Далее, каждую из полученных скобок можно представить в виде квадрата разности. Первая скобка \((a^8 — 2a^4 + 1)\) является полным квадратом \((a^4 — 1)^2\). Вторая скобка \((a^6 — 2a^4 + a^2)\) может быть записана как \(a^2(a^4 — 2a^2 + 1)\), что равно \(a^2(a^2 — 1)^2\), или \((a(a^2 — 1))^2\), что эквивалентно \((a^3 — a)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \((a^4 — 1)^2 + (a^3 — a)^2 \ge 0\).

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то \((a^4 — 1)^2 \ge 0\) и \((a^3 — a)^2 \ge 0\) для любых действительных значений \(a\). Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Следовательно, \((a^4 — 1)^2 + (a^3 — a)^2 \ge 0\), что доказывает исходное неравенство.

Дано неравенство, которое необходимо доказать:
1. \(a^8 + a^6 — 4a^4 + a^2 + 1 \ge 0\).

Для доказательства неравенства мы преобразуем его левую часть, сгруппировав слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Идея состоит в том, чтобы представить \(-4a^4\) как сумму \(-2a^4 — 2a^4\), что позволит сформировать два полных квадрата.

2. \((a^8 — 2a^4 + 1) + (a^6 — 2a^4 + a^2) \ge 0\).
Мы перегруппировали члены исходного неравенства. Первая скобка \((a^8 — 2a^4 + 1)\) образована из \(a^8\), \(1\) и части \(-4a^4\), а именно \(-2a^4\). Оставшиеся члены из исходного выражения — \(a^6\), оставшаяся часть \(-2a^4\) (поскольку \(-4a^4 = -2a^4 — 2a^4\)) и \(a^2\) — образуют вторую скобку \((a^6 — 2a^4 + a^2)\). Сумма этих двух скобок эквивалентна исходному выражению.

3. \((a^4 — 1)^2 + (a^3 — a)^2 \ge 0\).
Теперь преобразуем каждую из скобок в полный квадрат.
Рассмотрим первую скобку: \((a^8 — 2a^4 + 1)\). Это выражение является полным квадратом разности. Если мы применим формулу \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), то увидим, что \(x = a^4\) (так как \(x^2 = (a^4)^2 = a^8\)) и \(y = 1\) (так как \(y^2 = 1^2 = 1\)). Таким образом, \((a^8 — 2a^4 + 1) = (a^4 — 1)^2\).

Рассмотрим вторую скобку: \((a^6 — 2a^4 + a^2)\). Из всех членов этой скобки можно вынести общий множитель \(a^2\). Получим \(a^2(a^4 — 2a^2 + 1)\).
Выражение в скобках \((a^4 — 2a^2 + 1)\) также является полным квадратом разности. Применяя ту же формулу \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), мы видим, что \(x = a^2\) (так как \(x^2 = (a^2)^2 = a^4\)) и \(y = 1\) (так как \(y^2 = 1^2 = 1\)). Следовательно, \((a^4 — 2a^2 + 1) = (a^2 — 1)^2\).
Подставив это обратно, получаем \(a^2(a^2 — 1)^2\). Это выражение можно записать как \((a(a^2 — 1))^2\).
Раскрыв скобки внутри квадрата, получаем \(a \cdot a^2 — a \cdot 1 = a^3 — a\).
Таким образом, \(a^2(a^2 — 1)^2 = (a^3 — a)^2\).

Подставив эти преобразованные выражения обратно в неравенство из пункта 2, получаем \((a^4 — 1)^2 + (a^3 — a)^2 \ge 0\).
Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то \((a^4 — 1)^2 \ge 0\) и \((a^3 — a)^2 \ge 0\) для любых действительных значений \(a\). Сумма двух неотрицательных чисел также всегда является неотрицательным числом. Следовательно, \((a^4 — 1)^2 + (a^3 — a)^2 \ge 0\) истинно для всех действительных \(a\).
Неравенство доказано.