ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(x^8 + x^6 — 2x^3 + x^2 + 1 > 0\).

Для доказательства неравенства \(x^8 + x^6 — 2x^3 + x^2 + 1 > 0\), преобразуем левую часть.

Сгруппируем члены следующим образом: \((x^8 + x^2) + (x^6 — 2x^3 + 1)\).

Из первой скобки вынесем общий множитель \(x^2\), получим \(x^2(x^6 + 1)\). Вторая скобка является полным квадратом разности: \((x^3 — 1)^2\).

Таким образом, исходное неравенство принимает вид: \(x^2(x^6 + 1) + (x^3 — 1)^2 > 0\).

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Слагаемое \(x^2(x^6 + 1)\):
Поскольку \(x^2 \geq 0\) для любого действительного \(x\), и \(x^6 \geq 0\) для любого действительного \(x\), то \(x^6 + 1 \geq 1\). Следовательно, произведение \(x^2(x^6 + 1)\) всегда неотрицательно, то есть \(x^2(x^6 + 1) \geq 0\). Это слагаемое равно нулю только при \(x = 0\).

Слагаемое \((x^3 — 1)^2\):
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому \((x^3 — 1)^2 \geq 0\). Это слагаемое равно нулю только при \(x^3 — 1 = 0\), что означает \(x^3 = 1\), то есть при \(x = 1\).

Поскольку первое слагаемое равно нулю только при \(x=0\), а второе слагаемое равно нулю только при \(x=1\), эти два слагаемых не могут быть равны нулю одновременно.
Если \(x=0\), то \(x^2(x^6 + 1) = 0\), а \((x^3 — 1)^2 = (0^3 — 1)^2 = (-1)^2 = 1\). Сумма равна \(0 + 1 = 1 > 0\).
Если \(x=1\), то \(x^2(x^6 + 1) = 1^2(1^6 + 1) = 1(1+1) = 2\), а \((x^3 — 1)^2 = (1^3 — 1)^2 = 0^2 = 0\). Сумма равна \(2 + 0 = 2 > 0\).
Для всех остальных значений \(x\), оба слагаемых строго положительны или одно из них строго положительно, а другое неотрицательно.
Следовательно, сумма \(x^2(x^6 + 1) + (x^3 — 1)^2\) всегда строго больше нуля для всех действительных значений \(x\).

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\(x^8 + x^6 — 2x^3 + x^2 + 1 > 0\);
\((x^8 + x^2) + (x^6 — 2x^3 + 1) > 0\);
\(x^2(x^6 + 1) + (x^3 — 1)^2 > 0\);

Для доказательства данного неравенства, рассмотрим каждый член полученной суммы.

Первый член, \(x^2(x^6 + 1)\), является произведением двух множителей: \(x^2\) и \((x^6 + 1)\). Для любого действительного числа \(x\), квадрат \(x^2\) всегда неотрицателен, то есть \(x^2 \geq 0\). Он равен нулю только в случае, когда \(x = 0\). Множитель \((x^6 + 1)\) также всегда положителен для любого действительного \(x\), поскольку \(x^6 \geq 0\), следовательно, \(x^6 + 1 \geq 1\). Таким образом, произведение \(x^2(x^6 + 1)\) всегда неотрицательно, то есть \(x^2(x^6 + 1) \geq 0\). Этот член равен нулю только при \(x = 0\).

Второй член, \((x^3 — 1)^2\), представляет собой квадрат выражения \((x^3 — 1)\). Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, \((x^3 — 1)^2 \geq 0\) для любого действительного \(x\). Этот член равен нулю тогда и только тогда, когда \(x^3 — 1 = 0\), что означает \(x^3 = 1\), то есть при \(x = 1\).

Теперь рассмотрим сумму этих двух неотрицательных членов: \(x^2(x^6 + 1) + (x^3 — 1)^2\). Сумма двух неотрицательных выражений будет строго положительной, если они не равны нулю одновременно.
Мы установили, что первый член \(x^2(x^6 + 1)\) равен нулю только при \(x = 0\).
Мы также установили, что второй член \((x^3 — 1)^2\) равен нулю только при \(x = 1\).
Поскольку значения \(x = 0\) и \(x = 1\) различны, эти два члена не могут быть равны нулю одновременно.

Если \(x = 0\), то первый член равен \(0\), а второй член равен \((0^3 — 1)^2 = (-1)^2 = 1\). Сумма составляет \(0 + 1 = 1\), что строго больше \(0\).
Если \(x = 1\), то первый член равен \(1^2(1^6 + 1) = 1(1 + 1) = 2\), а второй член равен \((1^3 — 1)^2 = (1 — 1)^2 = 0\). Сумма составляет \(2 + 0 = 2\), что строго больше \(0\).
Для всех остальных значений \(x\), по крайней мере один из членов \(x^2(x^6 + 1)\) или \((x^3 — 1)^2\) будет строго положительным, а другой будет неотрицательным. Таким образом, их сумма всегда будет строго положительной.

Следовательно, неравенство \(x^2(x^6 + 1) + (x^3 — 1)^2 > 0\) выполняется для всех действительных значений \(x\).

Неравенство доказано.