ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(d > 0\), то \(\sqrt{(a+c)(b + d)} > \sqrt{ab} + \sqrt{cd}\).

Докажем неравенство \( \sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \) при условии, что \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), \(c \ge 0\) и \(d \ge 0\).

Возведем обе части неравенства в квадрат:
\( (a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2 \)
Раскроем скобки с обеих сторон:
\( ab + ad + cb + cd \ge ab + 2\sqrt{ab}\sqrt{cd} + cd \)
\( ab + ad + cb + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd \)
Вычтем \(ab\) и \(cd\) из обеих частей неравенства:
\( ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} \)
Перенесем \(2\sqrt{abcd}\) в левую часть:
\( ad — 2\sqrt{abcd} + cb \ge 0 \)
Заметим, что \(ad = (\sqrt{ad})^2\) и \(cb = (\sqrt{cb})^2\). Тогда выражение можно записать как полный квадрат разности:
\( (\sqrt{ad})^2 — 2\sqrt{ad}\sqrt{cb} + (\sqrt{cb})^2 \ge 0 \)
\( (\sqrt{ad} — \sqrt{cb})^2 \ge 0 \)
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, последнее неравенство всегда истинно. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Доказать, что если \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), \(c \ge 0\) и \(d \ge 0\), тогда:
\( \sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \)

Возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства неотрицательны (так как \(a, b, c, d \ge 0\)), возведение в квадрат сохраняет знак неравенства.

\( (\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2 \)

Раскроем скобки в левой части и применим формулу квадрата суммы \((X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2\) к правой части:

\( (a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ab})^2 + 2\sqrt{ab}\sqrt{cd} + (\sqrt{cd})^2 \)

Выполним умножение в левой части и упростим правую часть:

\( ab + ad + cb + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd \)

Вычтем \(ab\) и \(cd\) из обеих частей неравенства. Эти члены присутствуют с одинаковым знаком на обеих сторонах, поэтому их вычитание не изменяет неравенство:

\( ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} \)

Перенесем член \(2\sqrt{abcd}\) из правой части в левую, изменив его знак:

\( ad + cb — 2\sqrt{abcd} \ge 0 \)

Переставим члены в левой части для удобства:

\( ad — 2\sqrt{abcd} + cb \ge 0 \)

Заметим, что \(ad = (\sqrt{ad})^2\) и \(cb = (\sqrt{cb})^2\). Также, \(\sqrt{abcd} = \sqrt{ad \cdot cb} = \sqrt{ad}\sqrt{cb}\). Тогда левую часть неравенства можно представить как квадрат разности:

\( (\sqrt{ad})^2 — 2\sqrt{ad}\sqrt{cb} + (\sqrt{cb})^2 \ge 0 \)

Это выражение является полным квадратом разности \((X-Y)^2\), где \(X = \sqrt{ad}\) и \(Y = \sqrt{cb}\):

\( (\sqrt{ad} — \sqrt{cb})^2 \ge 0 \)

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, а \(\sqrt{ad}\) и \(\sqrt{cb}\) являются действительными числами (так как \(a, b, c, d \ge 0\)), последнее неравенство всегда истинно. Таким образом, исходное неравенство доказано.