ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любых \(n \in \mathbb{N}\) выполняется неравенство:
1) \(2\sqrt{n} — 2\sqrt{n — 1} > 1\);
2) \(2\sqrt{n + 1} — 2\sqrt{n} < 1\).

Для доказательства первого неравенства \(2\sqrt{n} — 2\sqrt{n-1} > \frac{1}{\sqrt{n}}\) для любых \(n \in \mathbb{N}\) (при условии, что \(n \ge 1\), чтобы \(\sqrt{n-1}\) был определен), умножим обе части на \(\sqrt{n}\), получим \(2n — 2\sqrt{n(n-1)} > 1\). Перенесем \(1\) влево и преобразуем: \(2n — 2\sqrt{n(n-1)} — 1 > 0\). Далее, представим \(2n\) как \(n + n\), и \(1\) как \((n) — (n-1)\) или просто перегруппируем члены, чтобы получить квадрат разности: \(n — 2\sqrt{n(n-1)} + (n-1) > 0\). Это выражение является полным квадратом \(( \sqrt{n} — \sqrt{n-1} )^2 > 0\). Поскольку \(\sqrt{n} \neq \sqrt{n-1}\) для любого \(n \ge 1\), разность \(( \sqrt{n} — \sqrt{n-1} )\) не равна нулю, и ее квадрат всегда положителен. Таким образом, неравенство доказано.

Для доказательства второго неравенства \(2\sqrt{n+1} — 2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}\) для любых \(n \in \mathbb{N}\), умножим обе части на \(\sqrt{n}\), получим \(2\sqrt{n(n+1)} - 2n < 1\). Перенесем все члены в одну сторону: \(2\sqrt{n(n+1)} - 2n - 1 < 0\). Умножим на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(2n - 2\sqrt{n(n+1)} + 1 > 0\). Представим это выражение как полный квадрат: \(n — 2\sqrt{n(n+1)} + (n+1) > 0\). Это является квадратом разности \(( \sqrt{n} — \sqrt{n+1} )^2 > 0\). Поскольку \(\sqrt{n} \neq \sqrt{n+1}\) для любого \(n \in \mathbb{N}\), разность \(( \sqrt{n} — \sqrt{n+1} )\) не равна нулю, и ее квадрат всегда положителен. Таким образом, неравенство доказано.

1) Для доказательства неравенства \(2\sqrt{n} — 2\sqrt{n-1} > \frac{1}{\sqrt{n}}\) для любых натуральных чисел \(n \in \mathbb{N}\) (при условии, что \(n \ge 1\), чтобы \(\sqrt{n-1}\) был определен), начнем с умножения обеих частей неравенства на \(\sqrt{n}\). Поскольку \(\sqrt{n}\) всегда положительно для \(n \in \mathbb{N}\), знак неравенства не изменится.
После умножения получаем:
\((2\sqrt{n} — 2\sqrt{n-1})\sqrt{n} > \frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}\)
Что упрощается до:
\(2n — 2\sqrt{n(n-1)} > 1\)

Далее, перенесем число \(1\) из правой части неравенства в левую, изменив его знак:
\(2n — 2\sqrt{n(n-1)} — 1 > 0\)

Теперь наша цель — преобразовать левую часть неравенства к виду квадрата разности. Мы знаем, что \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). В нашем выражении есть член \(-2\sqrt{n(n-1)}\), что наводит на мысль о \(-2ab\). Если \(a = \sqrt{n}\) и \(b = \sqrt{n-1}\), то \(a^2 = n\) и \(b^2 = n-1\). Мы можем перегруппировать члены в левой части, чтобы получить желаемую форму:
\(n — 2\sqrt{n(n-1)} + (n-1) > 0\)
Здесь мы использовали тот факт, что \(2n — 1\) можно представить как \(n + (n-1)\).

Теперь мы видим, что выражение \(n — 2\sqrt{n(n-1)} + (n-1)\) является полным квадратом разности \(\sqrt{n}\) и \(\sqrt{n-1}\). То есть:
\((\sqrt{n})^2 — 2\sqrt{n}\sqrt{n-1} + (\sqrt{n-1})^2 > 0\)
Что эквивалентно:
\((\sqrt{n} — \sqrt{n-1})^2 > 0\)

Это неравенство верно для всех \(n \in \mathbb{N}\). Для \(n=1\), \(\sqrt{n-1} = \sqrt{0} = 0\), и \(( \sqrt{1} — \sqrt{0} )^2 = (1-0)^2 = 1^2 = 1\), что больше нуля. Для всех \(n > 1\), \(\sqrt{n}\) строго больше \(\sqrt{n-1}\), следовательно, их разность \(\sqrt{n} — \sqrt{n-1}\) не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Таким образом, неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства \(2\sqrt{n+1} — 2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}\) для любых натуральных чисел \(n \in \mathbb{N}\), также начнем с умножения обеих частей неравенства на \(\sqrt{n}\). Знак неравенства не изменится, так как \(\sqrt{n}\) положительно. После умножения получаем: \((2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n})\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}\) Что упрощается до: \(2\sqrt{n(n+1)} - 2n < 1\) Далее, перенесем число \(1\) из правой части неравенства в левую, изменив его знак: \(2\sqrt{n(n+1)} - 2n - 1 < 0\) Теперь умножим обе части неравенства на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \(-(2\sqrt{n(n+1)} - 2n - 1) > 0\)
Что дает:
\(-2\sqrt{n(n+1)} + 2n + 1 > 0\)
Перегруппируем члены для удобства:
\(2n — 2\sqrt{n(n+1)} + 1 > 0\)

Теперь наша цель — преобразовать левую часть неравенства к виду квадрата разности. Если \(a = \sqrt{n}\) и \(b = \sqrt{n+1}\), то \(a^2 = n\) и \(b^2 = n+1\). Мы можем перегруппировать члены в левой части, чтобы получить желаемую форму \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\):
\(n — 2\sqrt{n(n+1)} + (n+1) > 0\)
Здесь мы использовали тот факт, что \(2n + 1\) можно представить как \(n + (n+1)\).

Теперь мы видим, что выражение \(n — 2\sqrt{n(n+1)} + (n+1)\) является полным квадратом разности \(\sqrt{n}\) и \(\sqrt{n+1}\). То есть:
\((\sqrt{n})^2 — 2\sqrt{n}\sqrt{n+1} + (\sqrt{n+1})^2 > 0\)
Что эквивалентно:
\((\sqrt{n} — \sqrt{n+1})^2 > 0\)

Это неравенство верно для всех \(n \in \mathbb{N}\). Для любого натурального числа \(n\), \(\sqrt{n}\) всегда строго меньше \(\sqrt{n+1}\). Следовательно, их разность \(\sqrt{n} — \sqrt{n+1}\) всегда будет отрицательным числом и не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Таким образом, неравенство доказано.