ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(2a^2 — 8a + 16 > 0\);

2) \(4b^2 + 4b + 3 > 0\);

3) \(a^2 + ab + b^2 > 0\);

4) \(9x^2 — 6xy + 5y^2 \geq 0\);

5) \(a(a — 3) > 5(a — 4)\).

Первое неравенство: \(2a^2 — 8a + 16 > 0\). Преобразуем: \(a^2 + (a — 4)^2 > 0\). Сумма квадратов всегда положительна, неравенство выполнено для всех \(a\).

Второе неравенство: \(4b^2 + 4b + 3 > 0\). Преобразуем: \((2b + 1)^2 + 2 > 0\). Квадрат плюс положительное число всегда больше нуля, неравенство выполнено для всех \(b\).

Третье неравенство: \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\). Это выражение можно записать как \(\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) + \frac{1}{2}(a^2 + b^2) = \frac{1}{2}(a + b)^2 + \frac{1}{2}(a^2 + b^2) \geq 0\), что всегда неотрицательно.

Четвертое неравенство: \(9x^2 — 6xy + 5y^2 \geq 0\). Преобразуем: \((3x — y)^2 + 4y^2 \geq 0\). Сумма квадратов неотрицательна, неравенство выполнено для всех \(x, y\).

Пятое неравенство: \(a(a — 3) > 5(a — 4)\). Раскроем: \(a^2 — 3a > 5a — 20\), приведем к виду \(a^2 — 8a + 16 + 4 > 0\), то есть \((a — 4)^2 + 4 > 0\), что всегда верно для всех \(a\).

1. Рассмотрим неравенство \(2a^2 — 8a + 16 > 0\). Для начала заметим, что выражение можно переписать, выделив квадрат суммы или разности. Разделим на 2: \(a^2 — 4a + 8 > 0\). Теперь дополним до полного квадрата: \(a^2 — 4a + 4 + 4 > 0\), что равно \((a — 2)^2 + 4 > 0\). Поскольку \((a — 2)^2 \geq 0\) для всех действительных \(a\), а к нему прибавляется положительное число 4, то выражение всегда больше нуля. Также можно рассмотреть исходное выражение как \(a^2 + (a — 4)^2 > 0\), что также является суммой квадратов и всегда положительно. Таким образом, неравенство выполнено для всех действительных значений \(a\).

2. Перейдем ко второму неравенству \(4b^2 + 4b + 3 > 0\). Попробуем преобразовать выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что \(4b^2 + 4b + 1 = (2b + 1)^2\), поэтому исходное неравенство можно записать как \((2b + 1)^2 + 2 > 0\). Так как \((2b + 1)^2 \geq 0\) для всех \(b\), а к нему прибавляется положительное число 2, то сумма всегда больше нуля. Следовательно, неравенство выполнено для всех действительных \(b\).

3. Рассмотрим третье неравенство \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\). Это выражение напоминает квадрат суммы, но для точного доказательства преобразуем его. Заметим, что \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\), но у нас есть только \(ab\), а не \(2ab\). Поэтому представим выражение как \(a^2 + ab + b^2 = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) + \frac{1}{2}(a^2 + b^2) — \frac{1}{2}ab\). Однако проще рассмотреть его как сумму квадратов с учетом \(b\): \(a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}ab + b^2 — \frac{1}{2}ab = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 — \frac{1}{2}ab\). Лучше использовать метод дискриминанта, рассматривая как квадратное уравнение по \(a\): \(a^2 + ba + b^2 = 0\). Дискриминант равен \(b^2 — 4 \cdot 1 \cdot b^2 = b^2 — 4b^2 = -3b^2 \leq 0\), что указывает на отсутствие действительных корней, а поскольку коэффициент при \(a^2\) положителен, выражение всегда неотрицательно. Неравенство доказано.

4. Четвертое неравенство: \(9x^2 — 6xy + 5y^2 \geq 0\). Это выражение от двух переменных, и мы попробуем представить его как сумму квадратов. Заметим, что \(9x^2 — 6xy + y^2 = (3x — y)^2\), поэтому исходное выражение равно \((3x — y)^2 + 4y^2 \geq 0\). Так как оба слагаемых являются квадратами и неотрицательны, их сумма всегда больше или равна нулю. Следовательно, неравенство выполнено для всех действительных \(x\) и \(y\).

5. Пятое неравенство: \(a(a — 3) > 5(a — 4)\). Раскроем скобки с обеих сторон: слева получаем \(a^2 — 3a\), справа \(5a — 20\). Приведем все члены в одну сторону: \(a^2 — 3a — 5a + 20 > 0\), что равно \(a^2 — 8a + 20 > 0\). Теперь дополним до полного квадрата: \(a^2 — 8a + 16 + 4 > 0\), то есть \((a — 4)^2 + 4 > 0\). Поскольку \((a — 4)^2 \geq 0\) для всех \(a\), а к нему прибавляется положительное число 4, выражение всегда больше нуля. Таким образом, неравенство выполнено для всех действительных значений \(a\).