ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + 3\).

Доказательство состоит из двух частей.

Для первой части неравенства, \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \), учитывая, что \(a, b, c > 0\), мы имеем следующие соотношения:
Так как \(a < a+b\), то \( \frac{1}{a} > \frac{1}{a+b} \).
Аналогично, \(b < b+c\), что означает \( \frac{1}{b} > \frac{1}{b+c} \).
И \(c < c+a\), что приводит к \( \frac{1}{c} > \frac{1}{c+a} \).
Суммируя эти три неравенства, получаем: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \).

Для второй части неравенства, \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c} \), также используя \(a, b, c > 0\), имеем:
Поскольку \(a+b < a+b+c\), то \( \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} \).
Аналогично, \(b+c < a+b+c\), что дает \( \frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c} \).
И \(c+a < a+b+c\), что приводит к \( \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} \).
Суммируя эти три неравенства, получаем: \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} \), что упрощается до \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c} \).

Таким образом, обе части неравенства доказаны.

Для доказательства данного неравенства, где \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), мы разделим его на две части и докажем каждую по отдельности.

1) Первое неравенство: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \).
Исходя из условия, что \(a, b, c\) являются положительными числами, мы можем установить следующие соотношения:
Поскольку \(b > 0\), то \(a < a+b\). Так как обе части неравенства положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный: \( \frac{1}{a} > \frac{1}{a+b} \).
Аналогично, поскольку \(c > 0\), то \(b < b+c\). Следовательно, \( \frac{1}{b} > \frac{1}{b+c} \).
И так как \(a > 0\), то \(c < c+a\). Отсюда следует, что \( \frac{1}{c} > \frac{1}{c+a} \).
Суммируя почленно все три полученных неравенства, мы получаем:
\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \).
Таким образом, первая часть неравенства доказана.

2) Второе неравенство: \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c} \).
Учитывая, что \(a, b, c > 0\), мы можем утверждать следующее:
Поскольку \(c > 0\), то \(a+b < a+b+c\). Так как обе части неравенства положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный: \( \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} \).
Аналогично, поскольку \(a > 0\), то \(b+c < a+b+c\). Следовательно, \( \frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c} \).
И так как \(b > 0\), то \(c+a < a+b+c\). Отсюда следует, что \( \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} \).
Суммируя почленно все три полученных неравенства, мы получаем:
\( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} \).
Упрощая правую часть, получаем:
\( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c} \).
Таким образом, вторая часть неравенства также доказана.

Поскольку обе части неравенства доказаны, исходное сложное неравенство является верным.