ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), то \(\frac{1 + y}{1 + x} \leq 1\).

Дано, что \(x \in [0, 1]\) и \(y \in [0, 1]\).
Из условий \(x \le 1\) и \(y \le 1\) следуют неравенства:
\(1+x \ge x+y\) (поскольку \(1 \ge y\))
\(1+y \ge x+y\) (поскольку \(1 \ge x\))

Так как \(x, y \ge 0\), то \(1+x > 0\), \(1+y > 0\), \(x+y \ge 0\). Если \(x=y=0\), то \(x+y=0\), но в знаменателе \(x+y\) не может быть нулем. Однако, если \(x=y=0\), то \(\frac{0}{1+0} + \frac{0}{1+0} = 0 \le 1\), что верно. Если \(x+y > 0\), то можно брать обратные величины:
\(\frac{1}{1+x} \le \frac{1}{x+y}\)
\(\frac{1}{1+y} \le \frac{1}{x+y}\)

Умножим первое неравенство на \(y\) (поскольку \(y \ge 0\)) и второе на \(x\) (поскольку \(x \ge 0\)):
\(\frac{y}{1+x} \le \frac{y}{x+y}\)
\(\frac{x}{1+y} \le \frac{x}{x+y}\)

Сложим эти два неравенства почленно:
\(\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le \frac{x}{x+y} + \frac{y}{x+y}\)
\(\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le \frac{x+y}{x+y}\)

Поскольку \(x+y > 0\) (случай \(x=y=0\) уже рассмотрен), то \(\frac{x+y}{x+y} = 1\).
Следовательно, \(\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1\).

Дано, что \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\). Требуется доказать неравенство \(\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1\).

1) Выполняются следующие неравенства:
Поскольку \(y \in [0; 1]\), то \(y \le 1\). Прибавим \(x\) к обеим частям неравенства: \(x+y \le 1+x\). Это можно переписать как \(1+x \ge x+y\).
Аналогично, поскольку \(x \in [0; 1]\), то \(x \le 1\). Прибавим \(y\) к обеим частям неравенства: \(x+y \le 1+y\). Это можно переписать как \(1+y \ge x+y\).

Рассмотрим случай, когда \(x=0\) и \(y=0\). Тогда неравенство принимает вид \(\frac{0}{1+0} + \frac{0}{1+0} = 0 + 0 = 0 \le 1\), что является истинным утверждением.
Теперь рассмотрим случай, когда \(x+y > 0\).
Так как \(x, y \in [0; 1]\), то \(1+x > 0\), \(1+y > 0\), и \(x+y > 0\).
Поскольку \(1+x \ge x+y\) и все члены положительны, взятие обратной величины меняет знак неравенства на противоположный:
\(\frac{1}{1+x} \le \frac{1}{x+y}\).
Аналогично, поскольку \(1+y \ge x+y\) и все члены положительны:
\(\frac{1}{1+y} \le \frac{1}{x+y}\).

Теперь умножим первое из полученных неравенств на \(y\). Поскольку \(y \ge 0\), знак неравенства не меняется:
\(\frac{y}{1+x} \le \frac{y}{x+y}\).
Умножим второе из полученных неравенств на \(x\). Поскольку \(x \ge 0\), знак неравенства также не меняется:
\(\frac{x}{1+y} \le \frac{x}{x+y}\).

2) Сложим почленно неравенства:
У нас есть два неравенства:
\(\frac{y}{1+x} \le \frac{y}{x+y}\)
\(\frac{x}{1+y} \le \frac{x}{x+y}\)
Сложим левые части и правые части этих неравенств:
\(\frac{y}{1+x} + \frac{x}{1+y} \le \frac{y}{x+y} + \frac{x}{x+y}\).
Объединим дроби в правой части, так как у них общий знаменатель:
\(\frac{y}{1+x} + \frac{x}{1+y} \le \frac{y+x}{x+y}\).
Поскольку мы уже рассмотрели случай \(x=y=0\), теперь мы знаем, что \(x+y > 0\). Следовательно, \(\frac{y+x}{x+y} = 1\).
Таким образом, окончательно получаем:
\(\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1\).
Неравенство доказано.