ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{1 + a}{1 + b} + \frac{1 + b}{1 + a} > 1 + a + b\).

Докажем, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}\).

Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), имеем следующие неравенства:
\(1+a < 1+a+b\) и \(1+b < 1+a+b\). Из этих неравенств следует: \(\frac{1}{1+a} > \frac{1}{1+a+b}\) и \(\frac{1}{1+b} > \frac{1}{1+a+b}\).

Умножим первое неравенство на \(a\) (поскольку \(a > 0\)) и второе на \(b\) (поскольку \(b > 0\)):
\(\frac{a}{1+a} > \frac{a}{1+a+b}\)
\(\frac{b}{1+b} > \frac{b}{1+a+b}\)

Сложим эти два неравенства почленно:
\(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}\)

Объединим дроби в правой части:
\(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}\)
Неравенство доказано.

Докажем, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}\).

1) Выполняются следующие неравенства:

Поскольку дано, что \(a > 0\) и \(b > 0\), мы можем установить соотношения между знаменателями. Рассмотрим выражение \(1+a+b\). Оно больше, чем \(1+a\), потому что \(b\) является положительным числом. Следовательно, мы имеем неравенство \(1+a < 1+a+b\). Аналогично, \(1+a+b\) больше, чем \(1+b\), потому что \(a\) является положительным числом. Отсюда следует неравенство \(1+b < 1+a+b\). Теперь, если мы возьмем обратные величины от этих выражений, знак неравенства изменится. Это происходит потому, что функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) является убывающей для положительных \(x\). Таким образом, из \(1+a < 1+a+b\) следует \(\frac{1}{1+a} > \frac{1}{1+a+b}\). Аналогично, из \(1+b < 1+a+b\) следует \(\frac{1}{1+b} > \frac{1}{1+a+b}\).

Далее, мы можем умножить каждое из полученных неравенств на соответствующее положительное число, не изменяя знак неравенства. Умножим первое неравенство \(\frac{1}{1+a} > \frac{1}{1+a+b}\) на \(a\). Поскольку \(a > 0\), мы получаем \(\frac{a}{1+a} > \frac{a}{1+a+b}\). Умножим второе неравенство \(\frac{1}{1+b} > \frac{1}{1+a+b}\) на \(b\). Поскольку \(b > 0\), мы получаем \(\frac{b}{1+b} > \frac{b}{1+a+b}\).

2) Сложим почленно неравенства:

Теперь, когда у нас есть два неравенства с одинаковым знаком, мы можем сложить их левые части и правые части. Сложение неравенств \(\frac{a}{1+a} > \frac{a}{1+a+b}\) и \(\frac{b}{1+b} > \frac{b}{1+a+b}\) дает нам:
\(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}\).

Правая часть этого неравенства представляет собой сумму дробей с одинаковым знаменателем \(1+a+b\). Мы можем сложить их числители:
\(\frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b} = \frac{a+b}{1+a+b}\).

Подставляя это обратно в неравенство, мы получаем:
\(\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}\).

Таким образом, исходное неравенство доказано.