ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(c > 0\), то \(\frac{a}{a + b + c} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} > 1\)

Дано, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Необходимо доказать неравенство \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1\).

Перенесем член \(\frac{c}{c+a}\) в правую часть неравенства:
\(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} > 1 — \frac{c}{c+a}\).
Приведем правую часть к общему знаменателю:
\(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} > \frac{c+a-c}{c+a}\), что упрощается до \(\frac{a}{c+a}\).

Теперь приведем левую часть к общему знаменателю \((a+b)(b+c)\):
\(\frac{a(b+c) + b(a+b)}{(a+b)(b+c)} > \frac{a}{c+a}\).
Раскроем скобки в числителе левой части:
\(\frac{ab + ac + ab + b^2}{ab + ac + b^2 + bc} > \frac{a}{c+a}\).
Упростим числитель левой части:
\(\frac{2ab + ac + b^2}{ab + ac + b^2 + bc} > \frac{a}{c+a}\).

Выполним перекрестное умножение, учитывая, что все знаменатели положительны (поскольку \(a, b, c > 0\)):
\((c+a)(2ab + ac + b^2) > a(ab + ac + b^2 + bc)\).
Раскроем скобки с обеих сторон:
\(2abc + ac^2 + b^2c + 2a^2b + a^2c + ab^2 > a^2b + a^2c + ab^2 + abc\).

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
\(2abc + ac^2 + b^2c + 2a^2b + a^2c + ab^2 — a^2b — a^2c — ab^2 — abc > 0\).
Приведем подобные члены:
\(abc + ac^2 + b^2c + a^2b > 0\).

Поскольку \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), все члены в сумме \(abc\), \(ac^2\), \(b^2c\), \(a^2b\) являются положительными. Сумма положительных чисел всегда положительна. Таким образом, неравенство \(abc + ac^2 + b^2c + a^2b > 0\) является истинным, что доказывает исходное неравенство.

Доказать, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1\).

1. Для начала доказательства данного неравенства, которое включает в себя сумму трех дробей, мы можем применить метод преобразования, чтобы упростить выражение и привести его к более удобному для анализа виду. Одним из эффективных подходов является перенос одного из членов неравенства в другую сторону. В данном случае, мы выберем член \(\frac{c}{c+a}\) и перенесем его из левой части неравенства в правую. Это действие не изменяет направление знака неравенства, поскольку мы просто вычитаем одно и то же значение из обеих частей. Таким образом, исходное неравенство \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1\) преобразуется в следующее эквивалентное выражение:
\(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} > 1 — \frac{c}{c+a}\).
Этот шаг позволяет нам работать с меньшим количеством членов в левой части и упростить правую часть для дальнейших алгебраических манипуляций.

2. Следующим этапом является упрощение обеих частей полученного неравенства. Начнем с правой части: выражение \(1 — \frac{c}{c+a}\) можно привести к общему знаменателю. Единицу можно представить как дробь \(\frac{c+a}{c+a}\). Тогда правая часть становится \(\frac{c+a}{c+a} — \frac{c}{c+a}\). Объединяя эти дроби, получаем \(\frac{(c+a)-c}{c+a}\), что упрощается до \(\frac{a}{c+a}\). Теперь рассмотрим левую часть. Она состоит из суммы двух дробей: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c}\). Для их сложения необходимо найти общий знаменатель, который в данном случае будет произведением их индивидуальных знаменателей, то есть \((a+b)(b+c)\). Чтобы привести первую дробь к этому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножаем на \((b+c)\). Аналогично, для второй дроби, ее числитель и знаменатель умножаем на \((a+b)\). В результате, левая часть преобразуется в:
\(\frac{a(b+c)}{(a+b)(b+c)} + \frac{b(a+b)}{(a+b)(b+c)}\).
Объединяя эти дроби под общим знаменателем, получаем:
\(\frac{a(b+c) + b(a+b)}{(a+b)(b+c)}\).
Таким образом, наше неравенство теперь выглядит как:
\(\frac{a(b+c) + b(a+b)}{(a+b)(b+c)} > \frac{a}{c+a}\).

3. Теперь приступим к раскрытию скобок и дальнейшему упрощению полученного выражения. В числителе левой части, применяя дистрибутивное свойство умножения, раскрываем скобки: \(a(b+c)\) становится \(ab + ac\), а \(b(a+b)\) становится \(ab + b^2\). Суммируя эти выражения, числитель левой части принимает вид \(ab + ac + ab + b^2\). Приводя подобные слагаемые (\(ab + ab = 2ab\)), числитель упрощается до \(2ab + ac + b^2\). В знаменателе левой части также раскрываем скобки: \((a+b)(b+c)\) становится \(a(b+c) + b(b+c)\), что равно \(ab + ac + b^2 + bc\). Таким образом, левая часть неравенства теперь выглядит как \(\frac{2ab + ac + b^2}{ab + ac + b^2 + bc}\). Правая часть, как мы уже упростили, остается \(\frac{a}{c+a}\). Итак, неравенство приобретает вид:
\(\frac{2ab + ac + b^2}{ab + ac + b^2 + bc} > \frac{a}{c+a}\).
На этом этапе мы имеем неравенство между двумя рациональными выражениями.

4. Для дальнейшего упрощения и устранения дробей, мы можем выполнить перекрестное умножение. Это допустимо, поскольку нам дано, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Из этого следует, что все знаменатели в нашем неравенстве положительны: \(a+b > 0\), \(b+c > 0\), \(c+a > 0\), и, следовательно, \((a+b)(b+c) > 0\). Поскольку мы умножаем обе части неравенства на положительные величины, направление знака неравенства не изменится. Перекрестное умножение означает, что числитель левой части умножается на знаменатель правой части, а числитель правой части умножается на знаменатель левой части. То есть, мы умножаем \((2ab + ac + b^2)\) на \((c+a)\) и сравниваем это произведение с произведением \(a\) на \((ab + ac + b^2 + bc)\). В результате получаем следующее неравенство без дробей:
\((c+a)(2ab + ac + b^2) > a(ab + ac + b^2 + bc)\).
Этот шаг значительно упрощает дальнейшие алгебраические преобразования, переводя задачу из сравнения дробей в сравнение многочленов.

5. Теперь необходимо тщательно раскрыть скобки с обеих сторон полученного неравенства. Начнем с левой части: \((c+a)(2ab + ac + b^2)\). Мы умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки. Это дает:
\(c \cdot (2ab) + c \cdot (ac) + c \cdot (b^2) + a \cdot (2ab) + a \cdot (ac) + a \cdot (b^2)\).
Выполняя умножение, получаем:
\(2abc + ac^2 + b^2c + 2a^2b + a^2c + ab^2\).
Теперь рассмотрим правую часть: \(a(ab + ac + b^2 + bc)\). Здесь мы умножаем \(a\) на каждый член внутри скобок:
\(a \cdot (ab) + a \cdot (ac) + a \cdot (b^2) + a \cdot (bc)\).
Выполняя умножение, получаем:
\(a^2b + a^2c + ab^2 + abc\).
Таким образом, после раскрытия скобок, наше неравенство выглядит следующим образом:
\(2abc + ac^2 + b^2c + 2a^2b + a^2c + ab^2 > a^2b + a^2c + ab^2 + abc\).
Этот этап является критическим, поскольку любая ошибка в раскрытии скобок приведет к неверному конечному результату.

6. Последним шагом в алгебраических преобразованиях является перенос всех членов из правой части неравенства в левую часть и приведение подобных слагаемых. Когда член переносится через знак неравенства, его знак меняется на противоположный. Итак, мы вычитаем каждый член правой части из левой части, чтобы правая часть стала равной нулю.
\(2abc + ac^2 + b^2c + 2a^2b + a^2c + ab^2 — a^2b — a^2c — ab^2 — abc > 0\).
Теперь аккуратно приведем подобные слагаемые:
— Для членов с \(abc\): \(2abc — abc = abc\).
— Для членов с \(ac^2\): \(ac^2\) (подобных нет).
— Для членов с \(b^2c\): \(b^2c\) (подобных нет).
— Для членов с \(a^2b\): \(2a^2b — a^2b = a^2b\).
— Для членов с \(a^2c\): \(a^2c — a^2c = 0\).
— Для членов с \(ab^2\): \(ab^2 — ab^2 = 0\).
После приведения всех подобных слагаемых, неравенство значительно упрощается и принимает окончательный вид:
\(abc + ac^2 + b^2c + a^2b > 0\).
Это выражение является ключевым для завершения доказательства.

Поскольку нам дано, что \(a > 0\), \(b > 0\), и \(c > 0\), мы можем проанализировать каждый член в полученном неравенстве \(abc + ac^2 + b^2c + a^2b > 0\). Рассмотрим каждый член по отдельности:
— Член \(abc\): поскольку \(a\), \(b\), и \(c\) все положительны, их произведение \(abc\) также будет положительным.
— Член \(ac^2\): \(a\) положительно, а \(c^2\) (квадрат любого ненулевого числа) всегда положительно. Следовательно, их произведение \(ac^2\) положительно.
— Член \(b^2c\): \(b^2\) положительно, и \(c\) положительно. Следовательно, их произведение \(b^2c\) положительно.
— Член \(a^2b\): \(a^2\) положительно, и \(b\) положительно. Следовательно, их произведение \(a^2b\) положительно.
Таким образом, мы установили, что каждый из четырех членов в сумме \(abc + ac^2 + b^2c + a^2b\) является строго положительным числом. Известно, что сумма любых положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, неравенство \(abc + ac^2 + b^2c + a^2b > 0\) является истинным утверждением при заданных условиях \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Поскольку все наши алгебраические преобразования были эквивалентными, это доказывает истинность исходного неравенства \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1\).