ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2\).

Дано, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Необходимо доказать, что \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2\). Поскольку \(c > 0\), имеем \(a < a+c\). Также \(a+b < a+b+c\), так как \(c > 0\). Разделив первое неравенство на второе, получаем \(\frac{a}{a+b} < \frac{a+c}{a+b+c}\). Аналогично, поскольку \(a > 0\), имеем \(b < b+a\). Также \(b+c < a+b+c\), так как \(a > 0\). Разделив первое неравенство на второе, получаем \(\frac{b}{b+c} < \frac{b+a}{a+b+c}\). И, поскольку \(b > 0\), имеем \(c < c+b\). Также \(c+a < a+b+c\), так как \(b > 0\). Разделив первое неравенство на второе, получаем \(\frac{c}{c+a} < \frac{c+b}{a+b+c}\). Сложим полученные три неравенства: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{a+c}{a+b+c} + \frac{b+a}{a+b+c} + \frac{c+b}{a+b+c}\) Объединим дроби в правой части, поскольку у них одинаковый знаменатель: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{(a+c) + (b+a) + (c+b)}{a+b+c}\) \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\) \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}\) \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2\) Неравенство доказано.

Дано, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Требуется доказать следующее неравенство: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2\). 1) Выполняются следующие неравенства, исходя из того, что все переменные \(a, b, c\) строго положительны: Для первой дроби \(\frac{a}{a+b}\): Поскольку \(c > 0\), мы можем утверждать, что \(a < a+c\). Также, поскольку \(c > 0\), мы имеем \(a+b < a+b+c\). Для второй дроби \(\frac{b}{b+c}\): Поскольку \(a > 0\), мы можем утверждать, что \(b < b+a\). Также, поскольку \(a > 0\), мы имеем \(b+c < a+b+c\). Для третьей дроби \(\frac{c}{c+a}\): Поскольку \(b > 0\), мы можем утверждать, что \(c < c+b\). Также, поскольку \(b > 0\), мы имеем \(c+a < a+b+c\). 2) Разделим верхние неравенства на нижние. Для положительных чисел \(x, y, z, w\), если \(x < y\) и \(z < w\), то для того чтобы \(\frac{x}{z} < \frac{y}{w}\) было верным, необходимо дополнительное условие. В данном случае, мы используем свойство, что если \(X, Y, Z\) - положительные числа, и \(X < Y\), то \(\frac{X}{Z} < \frac{Y}{Z}\). Также, если \(Z < W\), то \(\frac{1}{W} < \frac{1}{Z}\). Рассмотрим первое неравенство: \(\frac{a}{a+b} < \frac{a+c}{a+b+c}\). Докажем его эквивалентность: \(a(a+b+c) < (a+c)(a+b)\). Раскроем скобки: \(a^2 + ab + ac < a^2 + ab + ac + bc\). Вычтем \(a^2 + ab + ac\) из обеих частей: \(0 < bc\). Это неравенство истинно, так как по условию \(b > 0\) и \(c > 0\). Следовательно, \(\frac{a}{a+b} < \frac{a+c}{a+b+c}\) является верным. Аналогично для второго неравенства: \(\frac{b}{b+c} < \frac{b+a}{a+b+c}\). Докажем его эквивалентность: \(b(a+b+c) < (b+a)(b+c)\). Раскроем скобки: \(ab + b^2 + bc < b^2 + bc + ab + ac\). Вычтем \(ab + b^2 + bc\) из обеих частей: \(0 < ac\). Это неравенство истинно, так как по условию \(a > 0\) и \(c > 0\). Следовательно, \(\frac{b}{b+c} < \frac{b+a}{a+b+c}\) является верным. И для третьего неравенства: \(\frac{c}{c+a} < \frac{c+b}{a+b+c}\). Докажем его эквивалентность: \(c(a+b+c) < (c+b)(c+a)\). Раскроем скобки: \(ac + bc + c^2 < c^2 + ac + bc + ab\). Вычтем \(ac + bc + c^2\) из обеих частей: \(0 < ab\). Это неравенство истинно, так как по условию \(a > 0\) и \(b > 0\). Следовательно, \(\frac{c}{c+a} < \frac{c+b}{a+b+c}\) является верным. Таким образом, мы получили следующие три неравенства: \(\frac{a}{a+b} < \frac{a+c}{a+b+c}\) \(\frac{b}{b+c} < \frac{b+a}{a+b+c}\) \(\frac{c}{c+a} < \frac{c+b}{a+b+c}\) 3) Сложим почленно полученные неравенства: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{a+c}{a+b+c} + \frac{b+a}{a+b+c} + \frac{c+b}{a+b+c}\) Поскольку все дроби в правой части имеют одинаковый знаменатель \(a+b+c\), мы можем сложить их числители: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{(a+c) + (b+a) + (c+b)}{a+b+c}\) \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}\) \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\) Вынесем общий множитель 2 из числителя правой части: \(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}\) Сократим \(a+b+c\) в числителе и знаменателе правой части (это возможно, так как \(a, b, c > 0\), значит \(a+b+c \neq 0\)):
\(\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2\) Таким образом, неравенство доказано.