ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 > 4abcd\).

Докажем неравенство \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd\).

Начнем с вспомогательного неравенства, основанного на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\((ab — cd)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(a^2b^2 — 2abcd + c^2d^2 \ge 0\)
Переносим \(2abcd\) в правую часть:
\(a^2b^2 + c^2d^2 \ge 2abcd\) (1)

Теперь рассмотрим основное неравенство, также используя свойство неотрицательности квадрата:
\((a^2 — b^2)^2 + (c^2 — d^2)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки:
\(a^4 — 2a^2b^2 + b^4 + c^4 — 2c^2d^2 + d^4 \ge 0\)
Переносим отрицательные члены в правую часть:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2a^2b^2 + 2c^2d^2\)
Выносим общий множитель 2:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2(a^2b^2 + c^2d^2)\) (2)

Используя неравенство (1) \(a^2b^2 + c^2d^2 \ge 2abcd\) и подставляя его в неравенство (2), получаем:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2(2abcd)\)
Отсюда следует:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd\)
Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd\).

1) Вспомогательное неравенство:
Начнем с фундаментального свойства действительных чисел, которое гласит, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Применим это свойство к выражению \((ab — cd)\). Таким образом, мы можем записать:
\((ab — cd)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки в левой части данного неравенства, используя формулу квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). В нашем случае \(x = ab\) и \(y = cd\):
\((ab)^2 — 2(ab)(cd) + (cd)^2 \ge 0\)
Упрощая выражения со степенями, получаем:
\(a^2b^2 — 2abcd + c^2d^2 \ge 0\)
Теперь перенесем член \(-2abcd\) из левой части неравенства в правую часть, изменив его знак на противоположный. Это действие не меняет направление знака неравенства:
\(a^2b^2 + c^2d^2 \ge 2abcd\)
Это вспомогательное неравенство будет использовано на последующих этапах доказательства.

2) Данное неравенство:
Аналогично, применим принцип неотрицательности квадрата к двум другим выражениям: \((a^2 — b^2)\) и \((c^2 — d^2)\). Сумма двух неотрицательных чисел также будет неотрицательной:
\((a^2 — b^2)^2 + (c^2 — d^2)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки для каждого члена в левой части неравенства, используя ту же формулу квадрата разности. Для первого члена \((a^2 — b^2)^2\), где \(x = a^2\) и \(y = b^2\):
\((a^2)^2 — 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2\)
И для второго члена \((c^2 — d^2)^2\), где \(x = c^2\) и \(y = d^2\):
\((c^2)^2 — 2(c^2)(d^2) + (d^2)^2\)
Суммируя эти раскрытые выражения, получаем:
\(a^4 — 2a^2b^2 + b^4 + c^4 — 2c^2d^2 + d^4 \ge 0\)
Теперь перенесем все отрицательные члены \(-2a^2b^2\) и \(-2c^2d^2\) из левой части неравенства в правую, изменив их знаки:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2a^2b^2 + 2c^2d^2\)
Вынесем общий множитель 2 из правой части неравенства:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2(a^2b^2 + c^2d^2)\)
Теперь используем вспомогательное неравенство, полученное в пункте 1, которое гласит, что \(a^2b^2 + c^2d^2 \ge 2abcd\). Подставим это выражение в правую часть текущего неравенства:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 2(2abcd)\)
Выполним умножение в правой части:
\(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.