ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) > 144a^4b^4\)

Докажем неравенство: \((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4\).

Первое неравенство основывается на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим выражение \((a^2b^2 — 6)^2\). Поскольку это квадрат, то \((a^2b^2 — 6)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(a^4b^4 — 12a^2b^2 + 36 \ge 0\). Перенося \(12a^2b^2\) в правую часть, получаем \(a^4b^4 + 36 \ge 12a^2b^2\).

Аналогично, для второго неравенства рассмотрим выражение \((2a^2 — 3b^2)^2\). Поскольку это квадрат, то \((2a^2 — 3b^2)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(4a^4 — 12a^2b^2 + 9b^4 \ge 0\). Перенося \(12a^2b^2\) в правую часть, получаем \(4a^4 + 9b^4 \ge 12a^2b^2\).

Теперь почленно умножим полученные неравенства:
\((a^4b^4 + 36) \ge 12a^2b^2\)
\((4a^4 + 9b^4) \ge 12a^2b^2\)
При умножении левых частей и правых частей получаем:
\((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge (12a^2b^2) \cdot (12a^2b^2)\)
\((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4\).
Таким образом, неравенство доказано.

Докажем неравенство: \((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4\).

1) Первое неравенство:
Начнем с фундаментального принципа, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это означает, что для любого выражения \(X\), справедливо неравенство \(X^2 \ge 0\). Применим этот принцип к выражению \((a^2b^2 — 6)\).
Таким образом, мы можем записать:
\((a^2b^2 — 6)^2 \ge 0\)

Раскроем скобки в левой части этого неравенства, используя формулу квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). В нашем случае \(x = a^2b^2\) и \(y = 6\):
\((a^2b^2)^2 — 2 \cdot (a^2b^2) \cdot 6 + 6^2 \ge 0\)
Что упрощается до:
\(a^4b^4 — 12a^2b^2 + 36 \ge 0\)

Теперь перенесем член \(-12a^2b^2\) из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный. Это действие не меняет направление неравенства:
\(a^4b^4 + 36 \ge 12a^2b^2\)
Это наше первое вспомогательное неравенство.

2) Второе неравенство:
Аналогично первому пункту, применим принцип неотрицательности квадрата действительного числа к другому выражению. Рассмотрим выражение \((2a^2 — 3b^2)\).
Следовательно, мы можем записать:
\((2a^2 — 3b^2)^2 \ge 0\)

Раскроем скобки в левой части этого неравенства, снова используя формулу квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). В данном случае \(x = 2a^2\) и \(y = 3b^2\):
\((2a^2)^2 — 2 \cdot (2a^2) \cdot (3b^2) + (3b^2)^2 \ge 0\)
Что упрощается до:
\(4a^4 — 12a^2b^2 + 9b^4 \ge 0\)

Теперь перенесем член \(-12a^2b^2\) из левой части неравенства в правую, изменив его знак. Направление неравенства остается прежним:
\(4a^4 + 9b^4 \ge 12a^2b^2\)
Это наше второе вспомогательное неравенство.

3) Умножим почленно неравенства:
У нас есть два доказанных неравенства:
\(a^4b^4 + 36 \ge 12a^2b^2\)
\(4a^4 + 9b^4 \ge 12a^2b^2\)

Поскольку обе части каждого неравенства неотрицательны (так как \(a^2b^2 \ge 0\), \(a^4b^4 + 36 \ge 36\), \(4a^4 + 9b^4 \ge 0\)), мы можем почленно перемножить их. При умножении неравенств с неотрицательными частями знак неравенства сохраняется.
Перемножим левые части и правые части обоих неравенств:
\((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge (12a^2b^2) \cdot (12a^2b^2)\)

Выполним умножение в правой части:
\(12 \cdot 12 = 144\)
\(a^2b^2 \cdot a^2b^2 = a^{(2+2)}b^{(2+2)} = a^4b^4\)

Таким образом, правая часть становится \(144a^4b^4\). Подставим это обратно в неравенство:
\((a^4b^4 + 36)(4a^4 + 9b^4) \ge 144a^4b^4\)

Мы получили исходное неравенство, которое требовалось доказать.
Неравенство доказано.