ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) > 4ab\).

Докажем, что если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), тогда \(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \geq 4ab\).

1) Первое неравенство:
Начнем с очевидного неравенства \((1 — b)^2 \geq 0\). Это верно для любого действительного числа \(b\), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Раскроем скобки в выражении \((1 — b)^2\):
\((1 — b)^2 = 1 — 2b + b^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид \(1 — 2b + b^2 \geq 0\).

Перенесем член \(-2b\) в правую часть неравенства:
\(1 + b^2 \geq 2b\).

Теперь умножим обе части этого неравенства на \(a\). Поскольку по условию \(a \geq 0\), знак неравенства не изменится:
\(a(1 + b^2) \geq a(2b)\), что равносильно \(a(1 + b^2) \geq 2ab\).

2) Второе неравенство:
Аналогично, начнем с очевидного неравенства \((1 — a)^2 \geq 0\). Это верно для любого действительного числа \(a\), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Раскроем скобки в выражении \((1 — a)^2\):
\((1 — a)^2 = 1 — 2a + a^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид \(1 — 2a + a^2 \geq 0\).

Перенесем член \(-2a\) в правую часть неравенства:
\(1 + a^2 \geq 2a\).

Теперь умножим обе части этого неравенства на \(b\). Поскольку по условию \(b \geq 0\), знак неравенства не изменится:
\(b(1 + a^2) \geq b(2a)\), что равносильно \(b(1 + a^2) \geq 2ab\).

3) Сложим почленно неравенства:
Мы получили два неравенства:
Первое: \(a(1 + b^2) \geq 2ab\)
Второе: \(b(1 + a^2) \geq 2ab\)

Сложим левые части этих неравенств и правые части этих неравенств:
\(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \geq 2ab + 2ab\).

Суммируем члены в правой части:
\(2ab + 2ab = 4ab\).

Таким образом, получаем искомое неравенство:
\(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \geq 4ab\).

Неравенство доказано.

Докажем, что если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), тогда \(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \geq 4ab\).

1) Первое неравенство:
Рассмотрим неравенство \((1 — b)^2 \geq 0\). Это неравенство является истинным утверждением для любого действительного числа \(b\), поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Раскроем скобки в выражении \((1 — b)^2\) по формуле квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). В данном случае \(x = 1\) и \(y = b\).
Получаем \(1^2 — 2 \cdot 1 \cdot b + b^2 \geq 0\), что упрощается до \(1 — 2b + b^2 \geq 0\).

Теперь перенесем член \(-2b\) из левой части неравенства в правую часть, изменив его знак на противоположный.
В результате получаем \(1 + b^2 \geq 2b\).

Далее, умножим обе части полученного неравенства \(1 + b^2 \geq 2b\) на переменную \(a\). Согласно условию задачи, \(a \geq 0\). При умножении неравенства на неотрицательное число знак неравенства сохраняется.
Таким образом, \(a \cdot (1 + b^2) \geq a \cdot (2b)\).
Это выражение упрощается до \(a(1 + b^2) \geq 2ab\). Это первое вспомогательное неравенство.

2) Второе неравенство:
Аналогично первому пункту, рассмотрим неравенство \((1 — a)^2 \geq 0\). Это утверждение также является истинным для любого действительного числа \(a\), поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Раскроем скобки в выражении \((1 — a)^2\) по формуле квадрата разности.
Получаем \(1^2 — 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 \geq 0\), что упрощается до \(1 — 2a + a^2 \geq 0\).

Теперь перенесем член \(-2a\) из левой части неравенства в правую часть, изменив его знак на противоположный.
В результате получаем \(1 + a^2 \geq 2a\).

Далее, умножим обе части полученного неравенства \(1 + a^2 \geq 2a\) на переменную \(b\). Согласно условию задачи, \(b \geq 0\). При умножении неравенства на неотрицательное число знак неравенства сохраняется.
Таким образом, \(b \cdot (1 + a^2) \geq b \cdot (2a)\).
Это выражение упрощается до \(b(1 + a^2) \geq 2ab\). Это второе вспомогательное неравенство.

3) Сложим почленно неравенства:
Теперь у нас есть два доказанных неравенства:
Из пункта 1: \(a(1 + b^2) \geq 2ab\)
Из пункта 2: \(b(1 + a^2) \geq 2ab\)

Сложим левые части этих двух неравенств и правые части этих двух неравенств. При сложении неравенств одного знака (в данном случае «больше или равно») полученное неравенство также будет того же знака.
\((a(1 + b^2)) + (b(1 + a^2)) \geq (2ab) + (2ab)\).

Выполним сложение членов в правой части неравенства:
\(2ab + 2ab = 4ab\).

Подставим это значение обратно в суммированное неравенство:
\(a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \geq 4ab\).

Таким образом, мы доказали исходное неравенство.

Неравенство доказано.