ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(x^4 + 4y^4 + 5 > 8xy\).

Доказательство неравенства \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 8xy\) состоит из нескольких шагов.

Сначала рассмотрим неравенство \((x^2 — 2)^2 \geq 0\). Раскрывая скобки, получаем \(x^4 — 4x^2 + 4 \geq 0\), что можно переписать как \(x^4 + 4 \geq 4x^2\).

Затем рассмотрим неравенство \((2y^2 — 1)^2 \geq 0\). Раскрывая скобки, получаем \(4y^4 — 4y^2 + 1 \geq 0\), что можно переписать как \(4y^4 + 1 \geq 4y^2\).

Сложим полученные неравенства почленно: \((x^4 + 4) + (4y^4 + 1) \geq 4x^2 + 4y^2\). Это упрощается до \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 4(x^2 + y^2)\).

Теперь рассмотрим вспомогательное неравенство \(4(x — y)^2 \geq 0\). Раскрывая скобки, получаем \(4(x^2 — 2xy + y^2) \geq 0\), что равносильно \(4x^2 — 8xy + 4y^2 \geq 0\). Перегруппировав члены, получаем \(4(x^2 + y^2) \geq 8xy\).

Из шагов выше мы имеем \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 4(x^2 + y^2)\) и \(4(x^2 + y^2) \geq 8xy\). Объединяя эти два неравенства, получаем \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 8xy\), что и требовалось доказать.

Доказать неравенство: \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 8xy\).

1) Первое неравенство:
Начнем с очевидного неравенства, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Для любого действительного числа \(x\), верно:
\((x^2 — 2)^2 \geq 0\).
Раскроем скобки в левой части:
\( (x^2)^2 — 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 \geq 0 \)
\(x^4 — 4x^2 + 4 \geq 0\).
Перенесем член \(4x^2\) в правую часть неравенства:
\(x^4 + 4 \geq 4x^2\).

2) Второе неравенство:
Аналогично первому шагу, для любого действительного числа \(y\), верно:
\((2y^2 — 1)^2 \geq 0\).
Раскроем скобки в левой части:
\((2y^2)^2 — 2 \cdot 2y^2 \cdot 1 + 1^2 \geq 0\)
\(4y^4 — 4y^2 + 1 \geq 0\).
Перенесем член \(4y^2\) в правую часть неравенства:
\(4y^4 + 1 \geq 4y^2\).

3) Сложим почленно неравенства:
Сложим левые части и правые части неравенств, полученных в пунктах 1 и 2:
\((x^4 + 4) + (4y^4 + 1) \geq 4x^2 + 4y^2\).
Упростим левую часть и вынесем общий множитель в правой части:
\(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 4(x^2 + y^2)\).

4) Вспомогательное неравенство:
Рассмотрим еще одно очевидное неравенство, что квадрат разности любых действительных чисел неотрицателен. Для любых действительных чисел \(x\) и \(y\), верно:
\((x — y)^2 \geq 0\).
Умножим обе части неравенства на 4 (положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):
\(4(x — y)^2 \geq 0\).
Раскроем скобки в левой части:
\(4(x^2 — 2xy + y^2) \geq 0\)
\(4x^2 — 8xy + 4y^2 \geq 0\).
Перенесем член \(-8xy\) в правую часть неравенства:
\(4x^2 + 4y^2 \geq 8xy\).
Вынесем общий множитель 4 в левой части:
\(4(x^2 + y^2) \geq 8xy\).

Из пункта 3 мы получили \(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 4(x^2 + y^2)\).
Из пункта 4 мы получили \(4(x^2 + y^2) \geq 8xy\).
Используя свойство транзитивности неравенств (если \(a \geq b\) и \(b \geq c\), то \(a \geq c\)), мы можем заключить:
\(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 4(x^2 + y^2) \geq 8xy\).
Следовательно:
\(x^4 + 4y^4 + 5 \geq 8xy\).
Неравенство доказано.