ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(y > 0\), то \(x^4 + 4y^3 + 3 + 2x^2 + 1 > 8xy\).

Дано, что \(y \ge 0\). Требуется доказать неравенство \(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy\).

1. Рассмотрим первое неравенство, основанное на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\((x^2 — 1)^2 \ge 0\)
Раскрываем скобки:
\(x^4 — 2x^2 + 1 \ge 0\)
Переносим \(2x^2\) в правую часть и добавляем \(4x^2\) к обеим сторонам, чтобы получить форму, удобную для дальнейшего сложения:
\(x^4 + 2x^2 + 1 \ge 4x^2\)

2. Рассмотрим второе неравенство, используя условие \(y \ge 0\):
\(y(2y — 1)^2 \ge 0\)
Это неравенство верно, так как \(y \ge 0\) и \((2y — 1)^2 \ge 0\).
Раскрываем скобки:
\(y(4y^2 — 4y + 1) \ge 0\)
\(4y^3 — 4y^2 + y \ge 0\)
Переносим \(4y^2\) в правую часть:
\(4y^3 + y \ge 4y^2\)

3. Сложим почленно полученные неравенства из пунктов 1 и 2:
\((x^4 + 2x^2 + 1) + (4y^3 + y) \ge 4x^2 + 4y^2\)
Объединяем члены:
\(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 4(x^2 + y^2)\)

4. Рассмотрим вспомогательное неравенство, также основанное на неотрицательности квадрата:
\((x — y)^2 \ge 0\)
Умножим обе части на 4:
\(4(x — y)^2 \ge 0\)
Раскрываем скобки:
\(4(x^2 — 2xy + y^2) \ge 0\)
\(4x^2 — 8xy + 4y^2 \ge 0\)
Переносим \(8xy\) в правую часть:
\(4x^2 + 4y^2 \ge 8xy\)
Или, вынося 4 за скобки:
\(4(x^2 + y^2) \ge 8xy\)

5. Из пункта 3 мы имеем \(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 4(x^2 + y^2)\).
Из пункта 4 мы имеем \(4(x^2 + y^2) \ge 8xy\).
По свойству транзитивности неравенств получаем:
\(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy\)

Неравенство доказано.

Цель состоит в том, чтобы доказать неравенство \(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy\) при условии, что \(y \ge 0\). Мы будем использовать метод сложения неравенств, основанный на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен.

1. Рассмотрим первое неравенство. Мы знаем, что для любого действительного числа квадрат этого числа всегда неотрицателен. Следовательно, выражение \((x^2 — 1)^2\) всегда больше или равно нулю.
\((x^2 — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки в левой части этого неравенства, используя формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Здесь \(a\) соответствует \(x^2\), а \(b\) соответствует \(1\):
\((x^2)^2 — 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
Что упрощается до:
\(x^4 — 2x^2 + 1 \ge 0\)
Для того чтобы привести это неравенство к виду, который будет полезен для дальнейшего сложения, добавим \(4x^2\) к обеим сторонам неравенства. Это действие не изменяет направление неравенства, так как мы добавляем одно и то же значение к обеим сторонам:
\(x^4 — 2x^2 + 1 + 4x^2 \ge 0 + 4x^2\)
Объединяя подобные члены в левой части, получаем:
\(x^4 + 2x^2 + 1 \ge 4x^2\)
Это неравенство является истинным для всех действительных значений \(x\).

2. Рассмотрим второе неравенство. Нам дано исходное условие, что \(y \ge 0\). Мы также знаем, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть \((2y — 1)^2 \ge 0\). Произведение двух неотрицательных чисел также является неотрицательным. Поскольку \(y \ge 0\) и \((2y — 1)^2 \ge 0\), их произведение \(y(2y — 1)^2\) также будет больше или равно нулю.
\(y(2y — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки. Сначала раскроем квадрат \((2y — 1)^2\) по формуле \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = 2y\) и \(b = 1\):
\((2y — 1)^2 = (2y)^2 — 2(2y)(1) + 1^2 = 4y^2 — 4y + 1\)
Теперь умножим это выражение на \(y\):
\(y(4y^2 — 4y + 1) \ge 0\)
Распределим \(y\) на каждый член в скобках:
\(4y^3 — 4y^2 + y \ge 0\)
Чтобы получить форму, удобную для сложения, перенесем член \(-4y^2\) из левой части в правую часть неравенства. При этом знак члена меняется:
\(4y^3 + y \ge 4y^2\)
Это неравенство является истинным при условии \(y \ge 0\).

3. Сложим почленно неравенства, полученные в пунктах 1 и 2. Если у нас есть два неравенства одного направления, например, \(A \ge B\) и \(C \ge D\), то их можно сложить, получив \((A + C) \ge (B + D)\).
Из пункта 1: \(x^4 + 2x^2 + 1 \ge 4x^2\)
Из пункта 2: \(4y^3 + y \ge 4y^2\)
Складываем левые части: \((x^4 + 2x^2 + 1) + (4y^3 + y)\)
Складываем правые части: \(4x^2 + 4y^2\)
Получаем:
\((x^4 + 2x^2 + 1) + (4y^3 + y) \ge 4x^2 + 4y^2\)
Перегруппируем члены в левой части для соответствия исходному выражению:
\(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 4x^2 + 4y^2\)
Вынесем общий множитель 4 из правой части:
\(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 4(x^2 + y^2)\)
Это промежуточное неравенство, которое приближает нас к искомому доказательству.

4. Рассмотрим вспомогательное неравенство, которое связывает сумму квадратов \(x^2 + y^2\) с произведением \(xy\). Мы снова используем принцип, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим выражение \((x — y)^2\):
\((x — y)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = x\) и \(b = y\):
\(x^2 — 2xy + y^2 \ge 0\)
Теперь умножим обе части этого неравенства на 4. Поскольку 4 является положительным числом, направление неравенства не изменится:
\(4(x^2 — 2xy + y^2) \ge 4 \cdot 0\)
Распределим 4 на каждый член в скобках:
\(4x^2 — 8xy + 4y^2 \ge 0\)
Перенесем член \(-8xy\) из левой части в правую часть неравенства, при этом его знак изменится:
\(4x^2 + 4y^2 \ge 8xy\)
Вынесем общий множитель 4 из левой части:
\(4(x^2 + y^2) \ge 8xy\)
Это вспомогательное неравенство устанавливает связь между \(4(x^2 + y^2)\) и \(8xy\).

Наконец, объединим результаты, полученные в пункте 3 и пункте 4.
Из пункта 3 мы имеем: \(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 4(x^2 + y^2)\)
Из пункта 4 мы имеем: \(4(x^2 + y^2) \ge 8xy\)
По свойству транзитивности неравенств, если \(A \ge B\) и \(B \ge C\), то из этого следует, что \(A \ge C\).
В нашем случае:
Пусть \(A = x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1\)
Пусть \(B = 4(x^2 + y^2)\)
Пусть \(C = 8xy\)
Поскольку \(A \ge B\) и \(B \ge C\), мы можем заключить, что \(A \ge C\).
Следовательно:
\(x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy\)

Таким образом, исходное неравенство доказано при условии \(y \ge 0\).