ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(28a — 32 \leq 7a^2 — 4\);

2) \(16x^2 — 8xy + 2y^2 > 0\);

3) \(3(b — 1) < b(b+1)\).

Первое неравенство: \(28a — 32 \leq 7a^2 — 4\). Преобразуем его к виду \(7a^2 — 28a + 28 \geq 0\). Разделим на 7: \(a^2 — 4a + 4 \geq 0\), что равно \((a — 2)^2 \geq 0\). Это всегда верно, так как квадрат числа неотрицателен. Неравенство доказано.

Второе неравенство: \(16x^2 — 8xy + 2y^2 \geq 0\). Перепишем как \(16x^2 — 8xy + y^2 + y^2 \geq 0\), что равно \((4x — y)^2 + y^2 \geq 0\). Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, неравенство доказано.

Третье неравенство: \(3(b — 1) < b(b + 1)\). Раскроем и приведем к виду \(b^2 + b — 3b + 3 > 0\), то есть \(b^2 — 2b + 3 > 0\). Преобразуем: \(b^2 — 2b + 1 + 2 > 0\), что равно \((b — 1)^2 + 2 > 0\). Так как \((b — 1)^2 \geq 0\), выражение всегда больше 0. Неравенство доказано.

1) Рассмотрим неравенство \(28a — 32 \leq 7a^2 — 4\). Для доказательства перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить выражение, большее или равное нулю. Вычтем из правой стороны левую: \(7a^2 — 4 — (28a — 32) = 7a^2 — 4 — 28a + 32 = 7a^2 — 28a + 28\). Таким образом, неравенство принимает вид \(7a^2 — 28a + 28 \geq 0\).

Теперь разделим обе части неравенства на 7, чтобы упростить выражение: \(\frac{7a^2 — 28a + 28}{7} = a^2 — 4a + 4 \geq 0\). Полученное выражение \(a^2 — 4a + 4\) можно представить в виде полного квадрата: \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\). Таким образом, неравенство становится \((a — 2)^2 \geq 0\).

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \((a — 2)^2 \geq 0\) при любом значении \(a\), данное неравенство выполняется для всех действительных чисел \(a\). Умножим обе части на 7, чтобы вернуться к исходному виду: \(7(a — 2)^2 \geq 0\), что подтверждает справедливость неравенства \(7a^2 — 28a + 28 \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство доказано.

2) Рассмотрим неравенство \(16x^2 — 8xy + 2y^2 \geq 0\). Чтобы доказать его, попробуем представить выражение в виде суммы квадратов или других неотрицательных членов. Заметим, что \(2y^2 = y^2 + y^2\), поэтому перепишем неравенство как \(16x^2 — 8xy + y^2 + y^2 \geq 0\).

Теперь выражение \(16x^2 — 8xy + y^2\) можно представить как квадрат бинома: \(16x^2 — 8xy + y^2 = (4x)^2 — 2 \cdot 4x \cdot y + y^2 = (4x — y)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \((4x — y)^2 + y^2 \geq 0\).

Поскольку \((4x — y)^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\) для любых действительных чисел \(x\) и \(y\), их сумма также всегда неотрицательна. Это означает, что неравенство \((4x — y)^2 + y^2 \geq 0\) выполняется при любых значениях \(x\) и \(y\). Следовательно, исходное неравенство доказано.

3) Рассмотрим неравенство \(3(b — 1) < b(b + 1)\). Для начала раскроем скобки в обеих частях. Слева: \(3(b — 1) = 3b — 3\). Справа: \(b(b + 1) = b^2 + b\). Таким образом, неравенство становится \(3b — 3 < b^2 + b\).

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду. Вычтем из правой части левую: \(b^2 + b — (3b — 3) = b^2 + b — 3b + 3 = b^2 — 2b + 3\). Неравенство принимает вид \(b^2 — 2b + 3 > 0\).

Теперь преобразуем выражение \(b^2 — 2b + 3\). Выделим полный квадрат: \(b^2 — 2b + 3 = (b^2 — 2b + 1) + 2 = (b — 1)^2 + 2\). Таким образом, неравенство становится \((b — 1)^2 + 2 > 0\).

Поскольку \((b — 1)^2 \geq 0\) для любого действительного числа \(b\), а к этому значению прибавляется положительное число 2, то выражение \((b — 1)^2 + 2\) всегда больше нуля при любом \(b\). Это означает, что неравенство \((b — 1)^2 + 2 > 0\) выполняется для всех действительных значений \(b\). Следовательно, исходное неравенство доказано.