ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(b > 0\), то \(a^3 + b^3 + b + 1 > 4ab\).

Докажем неравенство \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab\) при условии \(b \ge 0\).

Сначала рассмотрим первое неравенство, основанное на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((a^2 — 1)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(a^4 — 2a^2 + 1 \ge 0\), что можно переписать как \(a^4 + 1 \ge 2a^2\).

Далее рассмотрим второе неравенство: \(b(b — 1)^2 \ge 0\). Поскольку \(b \ge 0\) и \((b — 1)^2 \ge 0\), их произведение также неотрицательно. Раскрывая скобки, имеем \(b(b^2 — 2b + 1) \ge 0\), что дает \(b^3 — 2b^2 + b \ge 0\). Перегруппировав члены, получаем \(b^3 + b \ge 2b^2\).

Теперь сложим почленно два полученных неравенства: \((a^4 + 1) + (b^3 + b) \ge 2a^2 + 2b^2\). Это приводит к неравенству \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 2(a^2 + b^2)\).

Вспомогательное неравенство также основано на свойстве неотрицательности квадрата: \(2(a — b)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(2(a^2 — 2ab + b^2) \ge 0\), что равносильно \(2a^2 — 4ab + 2b^2 \ge 0\). Перегруппировав члены, получаем \(2(a^2 + b^2) \ge 4ab\).

Из двух последних неравенств, \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 2(a^2 + b^2)\) и \(2(a^2 + b^2) \ge 4ab\), по свойству транзитивности неравенств следует, что \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab\). Таким образом, неравенство доказано.

Для того чтобы доказать, что если \(b \ge 0\), то \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab\), мы будем использовать метод сложения неравенств, основанный на свойстве неотрицательности квадрата действительного числа.

1) Первое неравенство:
Начнем с очевидного факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. В данном случае, рассмотрим выражение \((a^2 — 1)^2\).
\((a^2 — 1)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки по формуле квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), где \(x = a^2\) и \(y = 1\), получаем:
\((a^2)^2 — 2(a^2)(1) + 1^2 \ge 0\)
\(a^4 — 2a^2 + 1 \ge 0\)
Перенесем член \(-2a^2\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(a^4 + 1 \ge 2a^2\)

2) Второе неравенство:
Аналогично, рассмотрим выражение \(b(b — 1)^2\). Учитывая, что по условию \(b \ge 0\), и тот факт, что \((b — 1)^2 \ge 0\) (как квадрат действительного числа), их произведение также будет неотрицательным:
\(b(b — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки \((b — 1)^2\) как \(b^2 — 2b + 1\). Затем умножим каждый член на \(b\):
\(b(b^2 — 2b + 1) \ge 0\)
\(b \cdot b^2 — b \cdot 2b + b \cdot 1 \ge 0\)
\(b^3 — 2b^2 + b \ge 0\)
Перенесем член \(-2b^2\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(b^3 + b \ge 2b^2\)

3) Сложим почленно неравенства:
Теперь сложим левые части неравенств, полученных в пунктах 1 и 2, и правые части этих неравенств.
Сложим \(a^4 + 1 \ge 2a^2\) и \(b^3 + b \ge 2b^2\):
\((a^4 + 1) + (b^3 + b) \ge 2a^2 + 2b^2\)
Объединим члены в левой части и вынесем общий множитель 2 в правой части:
\(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 2(a^2 + b^2)\)

4) Вспомогательное неравенство:
Рассмотрим еще одно вспомогательное неравенство, также основанное на свойстве неотрицательности квадрата действительного числа:
\(2(a — b)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки \((a — b)^2\) как \(a^2 — 2ab + b^2\), затем умножим каждый член на 2:
\(2(a^2 — 2ab + b^2) \ge 0\)
\(2a^2 — 4ab + 2b^2 \ge 0\)
Перенесем член \(-4ab\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(2a^2 + 2b^2 \ge 4ab\)
Вынесем общий множитель 2 в левой части:
\(2(a^2 + b^2) \ge 4ab\)

Из пункта 3 мы получили неравенство \(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 2(a^2 + b^2)\).
Из пункта 4 мы получили неравенство \(2(a^2 + b^2) \ge 4ab\).
По свойству транзитивности неравенств (если \(X \ge Y\) и \(Y \ge Z\), то \(X \ge Z\)), мы можем заключить, что:
\(a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.